【題目】如圖,拋物線yax2+x+cx軸交于A,B兩點(diǎn),A點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣3,0),與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)C坐標(biāo)為(0.﹣6),連接BC,點(diǎn)C關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)D,點(diǎn)Px軸上的一個動點(diǎn),設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,0),過點(diǎn)Px軸的垂線l交拋物線于點(diǎn)Q,交直線BD于點(diǎn)M

(1)求二次函數(shù)解析式;

(2)點(diǎn)Px軸上運(yùn)動,若﹣6≤m≤2時,求線段MQ長度的最大值.

(3)點(diǎn)Px軸上運(yùn)動時,N為平面內(nèi)一點(diǎn),使得點(diǎn)B、C、MN為頂點(diǎn)的四邊形為菱形?如果存在,請直接寫出點(diǎn)N坐標(biāo);不存在,說明理由.

【答案】(1)yx2+x﹣6;(2)MQ的最大值為16;(3)N坐標(biāo)為(﹣,﹣)或(﹣2,0)或(7.2﹣3.6)或(2,﹣12).理由見解析.

【解析】

(1)把A點(diǎn)坐標(biāo)為(-3,0)、點(diǎn)C坐標(biāo)為(0,-6)代入二次函數(shù)表達(dá)式,解得:a=1,c=-6,故:二次函數(shù)解析式為y=x2+x-6;

(2)點(diǎn)C關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)D(0,6),MQ=yM-yQ=-3m+6-(m2+m-6)=-(m+2)2+16,即可求解;

(3)①當(dāng)BC邊為菱形的邊時,N點(diǎn)應(yīng)該在x軸,關(guān)于B點(diǎn)對稱,即點(diǎn)N坐標(biāo)為(-2,0);②當(dāng)BC邊為菱形的對角線時,作BC的垂直平分線MH,直線BD與直線MH交點(diǎn)即為M坐標(biāo)為,即可求解.

(1)把A點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣3,0)、點(diǎn)C坐標(biāo)為(0,﹣6)代入二次函數(shù)表達(dá)式,

解得:a=1,c=﹣6,

故:二次函數(shù)解析式為yx2+x﹣6;

(2)點(diǎn)C關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)D(0,6),

點(diǎn)B、D坐標(biāo)所在的直線方程為:y=﹣3x+6,

則:點(diǎn)M坐標(biāo)為(m,﹣3m+6),點(diǎn)Q為(m,m2+m﹣6),

MQyMyQ=﹣3m+6﹣(m2+m﹣6)=﹣(m+2)2+16,

在﹣6≤m≤2時,函數(shù)頂點(diǎn)處,取得最大值,

MQ的最大值為16;

(3)①當(dāng)BC邊為菱形的邊時,

情況一N點(diǎn)應(yīng)該在x軸,關(guān)于B點(diǎn)對稱,即點(diǎn)N坐標(biāo)為(﹣2,0),

情況二:BC、MB是菱形兩條鄰邊,且BCBM,則點(diǎn)N坐標(biāo)為(2,﹣12),

情況三:BC、CM為鄰邊時,則點(diǎn)N坐標(biāo)為(7.2﹣3.6);

②當(dāng)BC邊為菱形的對角線時,作BC的垂直平分線MH,

則直線DBMH的交點(diǎn)為M,M關(guān)于BC的對稱點(diǎn)為NHBC的中點(diǎn),

H坐標(biāo)為(1,﹣3),

直線BD的方程為:y=﹣3x+6,直線MH的方程為:y=-x-,

聯(lián)立以上兩個方程,解得:M坐標(biāo)為(,﹣),

同理得N坐標(biāo)為(﹣,﹣),

故:N坐標(biāo)為(﹣,﹣)或(﹣2,0)或(7.2﹣3.6)或(2,﹣12).

練習(xí)冊系列答案
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(1)他們一共抽查了多少人?

(2)若該校共有2310名學(xué)生請估計(jì)全校學(xué)生共捐款多少元?

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2)求證:CB△ABE外接圓的切線;

3)試探究坐標(biāo)軸上是否存在一點(diǎn)P,使以D、EP為頂點(diǎn)的三角形與△ABE相似,若存在,直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由;

4)設(shè)△AOE沿x軸正方向平移t個單位長度(0t≤3)時,△AOE△ABE重疊部分的面積為s,求st之間的函數(shù)關(guān)系式,并指出t的取值范圍.

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(2)問:(1)中這樣的直線AC是否唯一?若唯一,請說明理由;若不唯一,請?jiān)趫D中畫出所有這樣的直線AC,并寫出與之對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式.

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