Question

【題目】如圖，隧道的截面由拋物線和長方形構(gòu)成，長方形的長是12m，寬是4m．按照圖中所示的直角坐標(biāo)系，拋物線可以用y=﹣ x2+bx+c表示，且拋物線的點(diǎn)C到墻面OB的水平距離為3m時(shí)，到地面OA的距離為 m．
（1）求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式，并計(jì)算出拱頂D到地面OA的距離；
（2）一輛貨運(yùn)汽車載一長方體集裝箱后高為6m，寬為4m，如果隧道內(nèi)設(shè)雙向行車道，那么這輛貨車能否安全通過？
（3）在拋物線型拱壁上需要安裝兩排燈，使它們離地面的高度相等，如果燈離地面的高度不超過8m，那么兩排燈的水平距離最小是多少米？

Answer 1

【答案】
（1）解：根據(jù)題意得B（0，4），C（3， ），

把B（0，4），C（3， ）代入y=﹣ x2+bx+c得 ，

解得 ．

所以拋物線解析式為y=﹣ x2+2x+4，

則y=﹣ （x﹣6）2+10，

所以D（6，10），

所以拱頂D到地面OA的距離為10m

（2）解：由題意得貨運(yùn)汽車最外側(cè)與地面OA的交點(diǎn)為（2，0）或（10，0），

當(dāng)x=2或x=10時(shí)，y= ＞6，

所以這輛貨車能安全通過

（3）解：令y=8，則﹣ （x﹣6）2+10=8，解得x1=6+2 ，x2=6﹣2 ，

則x1﹣x2=4 ，

所以兩排燈的水平距離最小是4 m

【解析】（1）先確定B點(diǎn)和C點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式，再利用配方法確定頂點(diǎn)D的坐標(biāo)，從而得到點(diǎn)D到地面OA的距離；（2）由于拋物線的對稱軸為直線x=6，而隧道內(nèi)設(shè)雙向行車道，車寬為4m，則貨運(yùn)汽車最外側(cè)與地面OA的交點(diǎn)為（2，0）或（10，0），然后計(jì)算自變量為2或10的函數(shù)值，再把函數(shù)值與6進(jìn)行大小比較即可判斷；（3）拋物線開口向下，函數(shù)值越大，對稱點(diǎn)之間的距離越小，于是計(jì)算函數(shù)值為8所對應(yīng)的自變量的值即可得到兩排燈的水平距離最小值．