Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC=8cm．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿B→C→A方向向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s．當(dāng)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，△APC為等腰三角形．
（2）當(dāng)點(diǎn)Q在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△PBQ的面積為S（cm2），寫(xiě)出S與t之間的函數(shù)關(guān)系．
（3）當(dāng)點(diǎn)Q在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在某一時(shí)刻t，使S△PBQ：S四邊形APQC=5：3？若存在，求出t值；若不存在，說(shuō)明理由．
（4）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻t，使BQ平分∠ABC？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：①當(dāng)AP=PB時(shí)，∵∠ACB=90°，

∴CP=PA=PB，

∴t=5，

②當(dāng)AC=AP時(shí)，t=8，

∴t=5s或8s時(shí)，△APC是等腰三角形

（2）解：當(dāng)點(diǎn)Q在邊BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥AB于H，

∵AP=xcm，

∴BP=（10﹣x）cm，BQ=2xcm，

∵△QHB∽△ACB，

∴ = ，

∴QH= xcm，

y= BPQH= （10﹣x） x=﹣ x2+8x（0＜x≤3）

（3）解：存在．∵S△PBQ：S四邊形APQC=5：3，

∴﹣ x2+8x= × ×6×8，

解得x= 或 ，

∴t= s或 s時(shí)，S△PBQ：S四邊形APQC=5：3

（4）解：存在．如圖作QH⊥AB于H．

∵∠QBC=∠QBA，QC⊥BC，QH⊥AB，

∴QC=QH=2t﹣6，AQ=14﹣2t，

∵∠A=∠A，∠AHQ=∠C=90°，

∴△AQH∽△ABC，

∴ = ，

∴ = ，

∴t= ，

∴t= s時(shí)，BQ平分∠ABC

【解析】（1）分兩種情形討論求解①當(dāng)AP=PB時(shí)，可以證明CP=PA=PB，t=5，．②當(dāng)AC=AP時(shí)；t=5，t=5s或8s時(shí)，△APC是等腰三角形
（2）當(dāng)點(diǎn)Q在邊BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥AB于H，由△QHB∽△ACB，推出 QHAC=QBAB 可得QH的長(zhǎng)度， 根據(jù)y= 12 BPQH，列出式子即可；
（3）存在．由S△PBQ：S四邊形APQC=5：3，可得關(guān)于x的方程，解方程即可解決問(wèn)題；
（4）存在．如圖作QH⊥AB于H．首先得出QC=QH=2t-6，AQ=14﹣2t，由△ AQH∽△ABC，可得 AQAB=QHBC ，從而列出方程， 解方程即可解決問(wèn)題；
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的三角形的面積和相似三角形的判定與性質(zhì)，需要了解三角形的面積=1/2×底×高；相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比于相似比；相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能得出正確答案．