Question

如圖，二次函數y=2x²-2的圖象與x軸交于A、B兩點（A在B的左邊），與y軸交于點c，直線x=a（a＞1）與x軸交于點D，
（1）在直線x=a上有一點P（P在第一象限），使得以P、D、B為頂點的三角形與B、C、O（原點）為頂點的三角相似，求點P坐標（用含a的代數式表示）
（2）在（1）成立的條件下，試問拋物線y=2x²-2上是否存在一點Q，使四邊形ABPQ為平行四邊形？若存在這樣的Q，請求出a的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）令二次函數解析式中x=0，可得出C點坐標，令y=0，可得出A、B的坐標，進而得出OB，CO的長，由于∠PDB=∠BOC=90°，因此本題可分兩種情況進行討論：
①當△PDB∽△COB時；②當△PDB∽△BOC時；可根據不同的相似三角形得出的不同的對應線段成比例來求出DP的長，即可表示出P點的坐標．
（2）若四邊形ABPQ為平行四邊形，那么Q點的坐標可有P點坐標向左平移AB個單位來得出，然后將Q點坐標代入拋物線的解析式中即可求得a的值．
解答：解：（1）令y=0得2x²-2=0
解得x=±1，
點A為（-1，0），點B為（1，0），
令x=0，得y=-2，
所以點C為（0，-2），則CO=2，BO=1，
當△PDB∽△COB時，
有=，
∵BD=a-1，OC=2，OB=1，
∴=，
∴PD=2（a-1），
∴P₁（a，2a-2）．
當△PDB∽△BOC時，有=，
∵OB=1，BD=a-1，OC=2，
∴=，
PD=，
∴P₂（a，-）．

（2）假設拋物線y=2x²-2上存在一點Q，使得四邊形ABPQ為平行四邊形，
∴PQ=AB=2，點Q的橫坐標為a-2．
當點P₁為（a，2a-2）時，
點Q₁的坐標是（a-2，2a-2），
∵點Q₁在拋物線y=2x²-2圖象上，
∴2a-2=2（a-2）²-2，
即a-1=a²-4a+4-1，
a²-5a+4=0，
解得：a₁=1（舍去），a₂=4．
當點P₂為（a，-）時，
點Q₂的坐標是（a-2，-），
∵Q₂在拋物線y=2x²-2圖象上，
∴-=2（a-2）²-2，
即a-1=4（a-2）²-4
a-1=4a²-16a+16-4，
4a²-17a+13=0，
（a-1）（4a-13）=0，
∴a₃=1（舍去），a₄=，
∴a的值為4、．
點評：此題主要考查了二次函數的綜合題以及相似三角形的判定和性質、平行四邊形的判定和性質等知識．利用分類討論思想得出P點坐標是解題關鍵．