【題目】如圖,CDO的直徑,點BO上,連接BCBD,直線ABCD的延長線相交于點A,AB2ADAC,OEBD交直線AB于點E,OEBC相交于點F

1)求證:直線AEO的切線;

2)若O的半徑為3cosA,求OF的長.

【答案】1)詳見解析;(2

【解析】

1)連接OB,根據(jù)已知條件得到△ABD∽△ACB,再根據(jù)相似三角形的性質得到∠ABD=∠ACB,由等腰三角形的性質得到∠OBC=∠ACB,等量代換得到∠OBC=∠ABD,于是得到結論;

2)設AB4xOA5x,根據(jù)勾股定理得到AB4,OA5,求得AD2,根據(jù)平行線分相等成比例定理得到BE6,由勾股定理得到OE3,根據(jù)三角形的面積公式得到BF,根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結論.

1

如圖,連接OB

AB2ADAC,

∵∠A=∠A,

∴△ABD∽△ACB,

∴∠ABD=∠ACB,

OBOC,

∴∠OBC=∠ACB

∴∠OBC=∠ABD,

CD是⊙O的直徑,

∴∠CBD90°,

∴∠OBC+OBD90°,∠OBD+ABD90°

即∠OBA90°,

∴直線AE是⊙O的切線;

2)∵OB3,cosA

∴設AB4x,OA5x

OA2AB2+OB2,

∴(5x2=(4x2+32,

x1

AB4,OA5

AD2,

OEBD

,

BE6

OE3,

∵∠CBD90°,BDOE

∴∠EFB90°,

SOBEOBBEOEBF,

OBBEOEBF,

BF

tanE,

EF,

OFOEEF

練習冊系列答案
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