【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx﹣1(a≠0)交x軸于A,B(1,0)兩點,交y軸于點C,一次函數(shù)y=x+3的圖象交坐標(biāo)軸于A,D兩點,E為直線AD上一點,作EF⊥x軸,交拋物線于點F
(1)求拋物線的解析式;
(2)若點F位于直線AD的下方,請問線段EF是否有最大值?若有,求出最大值并求出點E的坐標(biāo);若沒有,請說明理由;
(3)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)存在點G,使得G,E,D,C為頂點的四邊形為菱形,請直接寫出點G的坐標(biāo).
【答案】(1)拋物線的解析式為y=x 2+x﹣1;(2),(,);(3)點G的坐標(biāo)為(2,1),(﹣2,﹣2﹣1),(2,2﹣1),(﹣4,3).
【解析】
(1)利用待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式;
(2)由函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征:可設(shè)點E的坐標(biāo)為(m,m+3),點F的坐標(biāo)為(m, m2+m﹣1),由此得到EF=﹣m2+m+4,根據(jù)二次函數(shù)最值的求法解答即可;
(3)分三種情形①如圖1中,當(dāng)EG為菱形對角線時.②如圖2、3中,當(dāng)EC為菱形的對角線時,③如圖4中,當(dāng)ED為菱形的對角線時,分別求解即可.
(1)將y=0代入y=x+3,得x=﹣3.
∴點A的坐標(biāo)為(﹣3,0).
設(shè)拋物線的解析式為y=a(x﹣x 1)(x﹣x 2),點A的坐標(biāo)為(﹣3,0),點B的坐標(biāo)為(1,0),
∴y=a(x+3)(x﹣1).
∵點C的坐標(biāo)為(0,﹣1),
∴﹣3a=﹣1,得a=,
∴拋物線的解析式為y=x 2+x﹣1;
(2)設(shè)點E的坐標(biāo)為(m,m+3),線段EF的長度為y,
則點F的坐標(biāo)為(m,m 2+m﹣1)
∴y=(m+3)﹣( m 2+m﹣1)=﹣ m 2+m+4
即y=-(m﹣) 2+,
此時點E的坐標(biāo)為(,);
(3)點G的坐標(biāo)為(2,1),(﹣2,﹣2﹣1),(2,2﹣1),(﹣4,3).
理由:①如圖1,當(dāng)四邊形CGDE為菱形時.
∴EG垂直平分CD
∴點E的縱坐標(biāo)y==1,
將y=1帶入y=x+3,得x=﹣2.
∵EG關(guān)于y軸對稱,
∴點G的坐標(biāo)為(2,1);
②如圖2,當(dāng)四邊形CDEG為菱形時,以點D為圓心,DC的長為半徑作圓,交AD于點E,可得DC=DE,構(gòu)造菱形CDEG
設(shè)點E的坐標(biāo)為(n,n+3),
點D的坐標(biāo)為(0,3)
∴DE==
∵DE=DC=4,
∴=4,解得n1=﹣2,n2=2.
∴點E的坐標(biāo)為(﹣2,﹣2+3)或(2,2+3)
將點E向下平移4個單位長度可得點G,
點G的坐標(biāo)為(﹣2,﹣2﹣1)(如圖2)或(2,2﹣1)(如圖3)
③如圖4,“四邊形CDGE為菱形時,以點C為圓心,以CD的長為半徑作圓,交直線AD于點E,
設(shè)點E的坐標(biāo)為(k,k+3),點C的坐標(biāo)為(0,﹣1).
∴EC==.
∵EC=CD=4,
∴2k2+8k+16=16,
解得k1=0(舍去),k2=﹣4.
∴點E的坐標(biāo)為(﹣4,﹣1)
將點E上移1個單位長度得點G.
∴點G的坐標(biāo)為(﹣4,3).
綜上所述,點G的坐標(biāo)為(2,1),(﹣2,﹣2﹣1),(2,2﹣1),(﹣4,3).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校九年級共有400名學(xué)生,男女生人數(shù)大致相同,調(diào)查小組為調(diào)查學(xué)生的體質(zhì)健康水平,開展了一次調(diào)查研究,將下面的過程補(bǔ)全.
收集數(shù)據(jù):
調(diào)查小組選取40名學(xué)生的體質(zhì)健康測試成績作為樣本,數(shù)據(jù)如下:
77 83 80 64 86 90 75 92 83 81
85 86 88 62 65 86 97 96 82 73
86 84 89 86 92 73 57 77 87 82
91 81 86 71 53 72 90 76 68 78
整理、描述數(shù)據(jù):
2018年九年級部分學(xué)生學(xué)生的體質(zhì)健康測試成績統(tǒng)計表
成績 | 50≤x<55 | 55≤x<60 | 60≤x<65 | 65≤x<70 | 70≤x<75 |
人數(shù) | 1 | 1 | 2 | 2 | 4 |
成績 | 75≤x<80 | 80≤x<85 | 85≤x<90 | 90≤x<95 | 95≤x<100 |
人數(shù) | 5 | a | b | 5 | 2 |
分析數(shù)據(jù):
(1)寫出表中的a、b的值;
(2)分析上面的統(tǒng)計圖、表,你認(rèn)為學(xué)生的體重健康測試成績是2017年還是2018年的好?說明你的理由.(至少寫出兩條).
(3)體育老師根據(jù)2018年的統(tǒng)計數(shù)據(jù),安排80分以下的學(xué)生進(jìn)行體育鍛煉,那么全年級大約有多少人參加?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)y=x2﹣2x﹣1.
x | … | ﹣1 | 0 | 1 | 2 | 3 | … |
y | … |
|
|
|
|
| … |
(1)請在表內(nèi)的空格中填入適當(dāng)?shù)臄?shù);
(2)根據(jù)列表,請在所給的平面直角坐標(biāo)系中畫出y=x2﹣2x﹣1的圖象;
(3)當(dāng)x在什么范圍內(nèi)時,y隨x增大而減小;
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我們約定,在平面直角坐標(biāo)系中兩條拋物線有且只有一個交點時,我們稱這兩條拋物線為“郡園牽手拋物線”,這個交點為“郡園點”.例如:拋物線與是“郡園牽手拋物線”,“郡園點”為.
(1)如圖,若拋物線與為“郡園牽手拋物線”,求的值;
(2)在(1)的條件下,若點是第一象限內(nèi)拋物線上的動點,過作軸,為垂足,求的最大值;
(3)在(1)的條件下,設(shè)點是拋物線與的“郡園點”,點是拋物線上一動點,問在拋物線的對稱軸上是否存在點,使是以點為直角頂點的等腰直角三角形?若存在,請直接寫出點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了減少霧霾的侵狀,某市環(huán)保局與市委各部門協(xié)商,要求市民在春節(jié)期間禁止燃放煙花爆竹,為了征集市民對禁燃的意見,政府辦公室進(jìn)行了抽樣調(diào)查,調(diào)查意見表設(shè)計為:“滿意““一般””無所謂””反對”四個選項,調(diào)查結(jié)果匯總制成如下不完整的統(tǒng)計圖,請根據(jù)提供的信息解答下面的問題.
(1)參與問卷調(diào)查的人數(shù)為 .
(2)扇形統(tǒng)計圖中的m= ,n= .補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖;
(3)若本市春節(jié)期間留守市區(qū)的市民有32000人,請你估計他們中持“反對”意見的人數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線交軸于,兩點,交軸于點,連接,點為拋物線上一動點.
(1)求拋物線的解析式;
(2)當(dāng)點到直線的距離為時,求點的橫坐標(biāo);
(3)當(dāng)和的面積相等時,請直接寫出點的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的部分圖象如圖所示,圖象過點(﹣1,0),對稱軸為直線x=1,下列結(jié)論:①2a+b=0;②9a+c>3b;③若點A(﹣3,y1)、點B(﹣,y2)、點C(,y3)在該函數(shù)圖象上,則y1<y3<y2:④若方程ax2+bx+c=﹣3(a≠0)的兩根為x1和x2,且x1<x2,則x1<﹣1<3<x2;⑤m(am+b)﹣b<a.其中正確的結(jié)論有( 。
A.1個B.2個C.3個D.4個
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,以平行四邊形ABCD的較短邊CD為一邊作菱形CDEF,使點F落在邊AD上,連接BE,交AF于點G,延長DE,BA交于點H,若∠ADC=60°,則=________
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