Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，直線PQ與⊙O相切于點C，以OB，BC為邊作OBCD，連接AD并延長交⊙O于點E，交直線PQ于點F．

（1）求證：AF⊥CF；

（2）連接OC，BD交于點H，若tan∠OCB＝3，⊙O的半徑是5，求BD的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）連接OC，如圖，根據平行四邊形的性質得到DC∥OB，DC=OB，推出四邊形OCDA是平行四邊形，得到AF∥OC，根據切線的性質得到∠OCQ=90°，于是得到結論；

（2）過點B作BN⊥OC于點N，如圖，根據平行四邊形的性質得到BD=2BH，,，設CN=x，BN=3x，求得ON=5﹣x,根據勾股定理即可得到結論.

（1）證明：連接OC，如圖，

∵四邊形OBCD是平行四邊形，

∴DC∥OB，DC=OB，

∵AO=OB，

∴DC∥AO，DC=AO，

∴四邊形OCDA是平行四邊形，

∴AF∥OC，

∵直線PQ與⊙O相切于點C，OC是半徑，

∴∠OCQ=90°，

∴∠AFC=∠OCQ=90°，

即AF⊥CF；

（2）過點B作BN⊥OC于點N，如圖，

∵四邊形OBCD是平行四邊形，

∴BD=2BH，．

在Rt△BNC中，，

設CN=x，BN=3x，

∴ON=5﹣x．

在Rt△ONB中，（5﹣x）2+（3x）2=52，

解得x1=0（舍），x2=1．

∴BN=3x=3，．

在Rt△HNB中，由勾股定理可得．

∴．