Question

【題目】如圖，在△ABC中，已知CA=CB=5，BA=6，點(diǎn)E是線段AB上的動點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），點(diǎn)F是線段AC上的動點(diǎn)，連接CE、EF，若在點(diǎn)E、點(diǎn)F的運(yùn)動過程中，始終保證∠CEF=∠B．
（1）求證：∠AEF=∠BCE；
（2）當(dāng)以點(diǎn)C為圓心，以CF為半徑的圓與AB相切時(shí)，求BE的長；
（3）探究：在點(diǎn)E、F的運(yùn)動過程中，△CEF可能為等腰三角形嗎？若能，求出BE的長；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵∠B+∠BCE=∠CEA=∠CEF+∠FEA，

∵∠CEF=∠B，

∴∠AEF=∠BCE

（2）解：如圖1，

設(shè)⊙C與BA切于點(diǎn)M，則CM=CF，CM⊥BA，

∵CA=CB，CM⊥BA∴BM=AM= =3，

Rt△AMC中，AC=5，AM=3，

∴CF=CM=4，

∴AF=1，

∵CA=CB∴∠B=∠C

由（1）知∠AEF=∠BCE

∴△AEF∽△BCE，

∴ ，

設(shè)BE長為x，則EA長為6﹣x

∴ ，

解得：x1=1，x2=5，

答：BE的長為1或5

（3）可能．如圖2，

①當(dāng)CE=CF時(shí)，∠3=∠2=∠A，

∴EF∥AB，此時(shí)E與B重合，與條件矛盾，不成立．

②當(dāng)CF=EF時(shí)，

又∵△AEF∽△BCE，

∴△AEF≌△BCE，

∴AE=BC=5，

∴BE=AB﹣5=1，

③當(dāng)CF=EF時(shí)，∠1=∠2=∠A=∠B，

△FCE∽△CBA，

∴ ，

∴ = = ，

∵△AEF∽△BCE

∴ = =

∴EA= BC= ×5= ，

∴EB=AB﹣ = ．

答：當(dāng)BE的長為1或 時(shí)，△CFE為等腰三角形．

【解析】（1）根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）設(shè)⊙C與BA切于點(diǎn)M，則CM=CF，CM⊥BA，根據(jù)垂徑定理得到BM=AM= =3，根據(jù)勾股定理得到CF=CM=4，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到 ，設(shè)BE長為x，則EA長為6﹣x即可得到結(jié)論；（3）①當(dāng)CE=CF時(shí)推出EF∥AB，此時(shí)E與B重合，與條件矛盾，不成立．②當(dāng)CF=EF時(shí)，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BE=AB﹣5=1，③當(dāng)CF=EF時(shí)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．