Question

5．如圖，在△ABC中，AB=AC=5，P是射線BC上的點(diǎn)．
（1）如圖（1），若BC=6，設(shè)BP=x，AP=y．求y關(guān)于x的函數(shù)解析式并寫(xiě)出定義域；
（2）如圖（2），若點(diǎn)P在BC邊上，求證：AP²+PB•PC=25；
（3）如圖（3），當(dāng)點(diǎn)P在BC延長(zhǎng)線上，請(qǐng)直接寫(xiě)出AP²，PB，PC，AB²滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）作AH⊥BC于H，可求得BH=HC=3，則HP=|x-3|，在Rt△AHP中，由勾股定理可得到函數(shù)關(guān)系式；
（2）用x可分別表示出PB和PC，再利用（1）的結(jié)論可求得AP²+PB•PC=25；
（3）同（2）的過(guò)程可證得AP²-PB•PC=25，可得到AP²-PB•PC=AB²．

解答 解：
（1）如圖1，作AH⊥BC于H，

∵AB=AC，
∴BH=HC=$\frac{1}{2}$BC=3，
在Rt△ABH中，AB=5，
∴AH=$\sqrt{A{B^2}-B{H^2}}$=4，
在Rt△AHP中，由勾股定理可得AP=$\sqrt{A{H^2}-H{P^2}}$，
∵BP=x，
∴HP=|x-3|
∴y=$\sqrt{{4^2}+{{（x-3）}^2}}$（x≥0）；
（2）證明：
如圖2，當(dāng)點(diǎn)C在線段BC上時(shí)，

作AH⊥BC于H，則BH=CH，
在Rt△AHP中，AP²=AH²+HP²
在△ABH中，AB²=AH²+BH²，
∵AB=AC，AH⊥BC，
∴BH=CH，
∴AB²-AP²=BH²-HP²=（BH+HP）（BH-HP）=PB•CP，
∴AP²+PB•PC=AB²=25；
（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，

作AH⊥BC于H，則BH=CH，
在Rt△AHP中，AP²=AH²+HP²
在△ABH中，AB²=AH²+BH²，
∵AB=AC，AH⊥BC，
∴BH=CH，
∴AP²-AB²=PH²-HB²=（BH+HP）（PH-HB）=PB•CP，
∴AP²-PB•PC=AB²=25；
∴AP²-PB•PC=AB²．

點(diǎn)評(píng) 本題為三角形的綜合應(yīng)用，涉及知識(shí)點(diǎn)有勾股定理、函數(shù)解析式及方程思想等．在解決（2）、（3）問(wèn)時(shí)，注意轉(zhuǎn)化成（1）的情形．本題所考查內(nèi)容都是基礎(chǔ)知識(shí)，難度不大．