Question

5．如圖，在△ABC中，AB=AC=5，P是射線BC上的點．
（1）如圖（1），若BC=6，設BP=x，AP=y．求y關于x的函數解析式并寫出定義域；
（2）如圖（2），若點P在BC邊上，求證：AP²+PB•PC=25；
（3）如圖（3），當點P在BC延長線上，請直接寫出AP²，PB，PC，AB²滿足的數量關系．

Answer 1

分析 （1）作AH⊥BC于H，可求得BH=HC=3，則HP=|x-3|，在Rt△AHP中，由勾股定理可得到函數關系式；
（2）用x可分別表示出PB和PC，再利用（1）的結論可求得AP²+PB•PC=25；
（3）同（2）的過程可證得AP²-PB•PC=25，可得到AP²-PB•PC=AB²．

解答 解：
（1）如圖1，作AH⊥BC于H，

∵AB=AC，
∴BH=HC=$\frac{1}{2}$BC=3，
在Rt△ABH中，AB=5，
∴AH=$\sqrt{A{B^2}-B{H^2}}$=4，
在Rt△AHP中，由勾股定理可得AP=$\sqrt{A{H^2}-H{P^2}}$，
∵BP=x，
∴HP=|x-3|
∴y=$\sqrt{{4^2}+{{（x-3）}^2}}$（x≥0）；
（2）證明：
如圖2，當點C在線段BC上時，

作AH⊥BC于H，則BH=CH，
在Rt△AHP中，AP²=AH²+HP²
在△ABH中，AB²=AH²+BH²，
∵AB=AC，AH⊥BC，
∴BH=CH，
∴AB²-AP²=BH²-HP²=（BH+HP）（BH-HP）=PB•CP，
∴AP²+PB•PC=AB²=25；
（3）如圖3，當點P在線段BC的延長線上時，

作AH⊥BC于H，則BH=CH，
在Rt△AHP中，AP²=AH²+HP²
在△ABH中，AB²=AH²+BH²，
∵AB=AC，AH⊥BC，
∴BH=CH，
∴AP²-AB²=PH²-HB²=（BH+HP）（PH-HB）=PB•CP，
∴AP²-PB•PC=AB²=25；
∴AP²-PB•PC=AB²．

點評 本題為三角形的綜合應用，涉及知識點有勾股定理、函數解析式及方程思想等．在解決（2）、（3）問時，注意轉化成（1）的情形．本題所考查內容都是基礎知識，難度不大．