Question

13．如圖，⊙O是△ABC的外接圓．AD平分∠BAC交⊙O于點D，交BC于點E，連接OD交BC于點F，連接BD，DC．下列五個結(jié)論中，正確的有（　�。�
①∠BFO=90°；
②$\widehat{BD}$=$\widehat{DC}$=$\frac{1}{2}$$\widehat{BDC}$；
③BF=FC=$\frac{1}{2}$BC；
④BE=EC=$\frac{1}{2}$BC；
⑤∠BAD=∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAC．

• A． 5個
• B． 4個
• C． 3個
• D． 2個

Answer 1

分析 根據(jù)垂徑定理求出OD⊥BC，得出①正確；由圓周角定理得出$\widehat{BD}$=$\widehat{CD}$，②正確；由等腰三角形的性質(zhì)得出③正確，④錯誤；由角平分線得出⑤正確；即可得出結(jié)論．

解答 解：①∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴$\widehat{BD}$=$\widehat{CD}$，
∵OD為半徑，
∴DO⊥BC，
∴∠BFO=90°，
故①正確；
②∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴$\widehat{BD}$=$\widehat{CD}$，
∴$\widehat{BD}$=$\widehat{DC}$=$\frac{1}{2}$$\widehat{BDC}$，
故②正確；
③連接OB、OC，如圖所示：
由①知DO⊥BC，
∵OB=OC，
∴BF=FC=$\frac{1}{2}$BC，
故③正確；
④∵BF=FC=$\frac{1}{2}$BC
∴BE=EC=$\frac{1}{2}$BC錯誤，
故④不正確；
⑤∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC，
∴∠BAD=∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAC，
故⑤正確；
綜上所述：正確的有①②③⑤；
故答案為：B．

點評 本題考查了垂徑定理、圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)等知識；熟練掌握垂徑定理和圓周角定理是解決問題的關(guān)鍵．