Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（0，6），B（8，0），AB=10，如圖作∠DBO=∠ABO，∠CAy=∠BAO，BD交y軸于點(diǎn)E，直線DO交AC于點(diǎn)C．

（1）①求證：△ACO≌△EDO；②求出線段AC、BD的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系；

（2）動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，沿A﹣O﹣B路線運(yùn)動(dòng)，速度為1，到B點(diǎn)處停止運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從B出發(fā)，沿B﹣O﹣A運(yùn)動(dòng)，速度為2，到A點(diǎn)處停止運(yùn)動(dòng)．二者同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，都要到達(dá)相應(yīng)的終點(diǎn)才能停止．在某時(shí)刻，作PE⊥CD于點(diǎn)E，QF⊥CD于點(diǎn)F．問兩動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)多長時(shí)間時(shí)△OPE與△OQF全等？

Answer 1

【答案】（1）AC∥BD，AC=BD﹣10；（2）當(dāng)兩動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為2、、12秒時(shí)，△OPE與△OQF全等.

【解析】

（1）①根據(jù)全等三角形的判定定理ASA證得結(jié)論；

②利用①中全等三角形的性質(zhì)得到：AC∥BD，AC=BD-10；

（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，（i）當(dāng)點(diǎn)P、Q分別在y軸、x軸上時(shí)（ii）當(dāng)點(diǎn)P、Q都在y軸上時(shí)，（iii）當(dāng)點(diǎn)P在x軸上，Q在y軸時(shí)若二者都沒有提前停止，當(dāng)點(diǎn)Q提前停止時(shí)，列方程即可得到結(jié)論．

（1）①如圖，

∵∠DBO=∠ABO，OB⊥AE，

∴∠BAO=∠BEO，

∴AB=BE，

∴AO=OE，

∵∠CAy=∠BAO，

∴∠CAy=∠BEO，

∴∠DEO=∠CAO

在△ACO與△EDO中，

，

∴△ACO≌△EDO（ASA）；

②由①知，△ACO≌△EDO，

∴∠C=∠D，AC=DE，

∴AC∥BD，AC=BD﹣10；

（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，

（i）當(dāng)點(diǎn)P、Q分別在y軸、x軸上時(shí)PO=QO得：6﹣t=8﹣2t，解得t=2（秒），

（ii）當(dāng)點(diǎn)P、Q都在y軸上時(shí)PO=QO得：6﹣t=2t﹣8，解得t=（秒），

（iii）當(dāng)點(diǎn)P在x軸上，Q在y軸時(shí)若二者都沒有提前停止，則PO=QO得：t﹣6=2t﹣8，解得t=2（秒）不合題意；

當(dāng)點(diǎn)Q提前停止時(shí)，有t﹣6=6，解得t=12（秒），

綜上所述：當(dāng)兩動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為2、、12秒時(shí)，△OPE與△OQF全等.