【題目】如圖,在正方形ABCD中,點M、N是BC、CD邊上的點,連接AM、BN,若BM=CN
(1)求證:AM⊥BN
(2)將線段AM繞M順時針旋轉90°得到線段ME,連接NE,試說明:四邊形BMEN是平行四邊形;
(3)將△ABM繞A逆時針旋轉90°得到△ADF,連接EF,當時,請求出 的值
【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3).
【解析】
(1)只需證明△ABM≌△BCN即可得到結論;
(2)由(1)可知AM=BN且AM⊥BN,而ME是由AM繞點M順時針旋轉90度得到,于是可得ME與BN平行且相等,結論顯然;
(3)易證AMEF為正方形,從而問題轉化為求兩個正方形的邊長之比,由于已經知道BM與BC之比,設BM=a,則由勾股定理易求AM.
解:(1)∵ABCD是正方形,
∴AB=BC,∠ABC=∠C=90°,
又∵BM=CN,
∴△ABM≌△BCN(SAS),
∴∠BAM=∠CBN,
∵∠BAM+∠BMA=90°,
∴∠CBN+∠BMA=90°,
∴AM⊥BN;
(2)∵將線段AM繞M順時針旋轉90°得到線段ME,
∴ME=AM,ME⊥AM,
∵△ABM≌△BCN,
∴AM=BN,
∵AM⊥BN,
∴BN=ME,且BN∥ME,
∴四邊形BMEN是平行四邊形;
(3)∵將線段AM繞M順時針旋轉90°得到線段ME,將△ABM繞A逆時針旋轉90°得到△ADF,
∴∠MAF=∠AME=90°,AF=ME=AM
∴AF∥ME,
∴AMEF是正方形,
∵,可以設BM=a,AB=na,
在直角三角形ABM中,AM=,
∴.
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【題目】某工廠接受了20天內生產1200臺GH型電子產品的總任務.已知每臺GH型產品由4個G型裝置和3個H型裝置配套組成.工廠現(xiàn)有80名工人,每個工人每天能加工6個G型裝置或3個H型裝置.工廠將所有工人分成兩組同時開始加工,每組分別加工一種裝置,并要求每天加工的G、H型裝置數(shù)量正好全部配套組成GH型產品.
(1)按照這樣的生產方式,工廠每天能配套組成多少套GH型電子產品?請列出二元一次方程組解答此問題.
(2)為了在規(guī)定期限內完成總任務,工廠決定補充一些新工人,這些新工人只能獨立進行G型裝置的加工,且每人每天只能加工4個G型裝置.1.設原來每天安排x名工人生產G型裝置,后來補充m名新工人,求x的值(用含m的代數(shù)式表示)2.請問至少需要補充多少名新工人才能在規(guī)定期內完成總任務?
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【題目】如圖,有一張長為8cm,寬為7cm的矩形紙片ABCD,現(xiàn)要剪下一個腰長為6cm的等腰三角形(要求:等腰三角形的一個頂點與矩形的一個頂點重合,其余的兩個頂點在矩形的邊上),則剪下的等腰三角形的面積為_____cm2.
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【題目】如圖,四邊形ABCD中,AD=BC,AB=CD,E,F(xiàn)分別是AB,CD上的點,且∠DAF=∠BCE,
(1)求證:AE=CF;
(2)若將此題中的條件改為:“E,F(xiàn)分別是AB,CD延長線上的點”,其余條件不變,此時,∠ABC=60°,∠BEC=40°,作∠ABC的平分線BN交AF于M,交AD于N,求∠AMN的度數(shù)(要求:畫示意圖,不寫畫法,寫推理過程)
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,雙曲線和直線y=kx+b交于A,B兩點,點A的坐標為(﹣3,2),BC⊥y軸于點C,且OC=6BC.
(1)求雙曲線和直線的解析式;
(2)直接寫出不等式的解集.
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【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,E為BC邊上一點,且AB=AE.
(1)求證:△ABC≌△EAD;
(2)若AE平分∠DAB,∠EAC=25°,求∠AED的度數(shù).
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【題目】如圖,把一個直角三角形ACB(∠ACB=90°)繞著頂點B順時針旋轉60°,使得點C旋轉到AB邊上的一點D,點A旋轉到點E的位置.F,G分別是BD,BE上的點,BF=BG,延長CF與DG交于點H.
(1)求證:CF=DG;
(2)求出∠FHG的度數(shù).
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【題目】釣魚島自古就是中國的!2017年5月18日,中國海警2305,2308,2166,33115艦船隊在中國的釣魚島領海內巡航,如圖,我軍以30km/h的速度在釣魚島A附近進行合法巡邏,當巡邏艦行駛到B處時,戰(zhàn)士發(fā)現(xiàn)A在他的東北方向,巡邏艦繼續(xù)向北航行40分鐘后到達點C,發(fā)現(xiàn)A在他的東偏北15°方向,求此時巡邏艦與釣魚島的距離(≈1.414,結果精確到0.01)
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