Question

【題目】如圖1，E是等邊三角形ABC的邊AB所在直線(xiàn)上一點(diǎn)，D是邊BC所在直線(xiàn)上一點(diǎn)，且D與C不重合，若EC＝ED．則稱(chēng)D為點(diǎn)C關(guān)于等邊三角形ABC的反稱(chēng)點(diǎn)，點(diǎn)E稱(chēng)為反稱(chēng)中心．

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，

（1）已知等邊三角形AOC的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)A在第一象限內(nèi)，反稱(chēng)中心E在直線(xiàn)AO上，反稱(chēng)點(diǎn)D在直線(xiàn)OC上．

①如圖2，若E為邊AO的中點(diǎn)，在圖中作出點(diǎn)C關(guān)于等邊三角形AOC的反稱(chēng)點(diǎn)D，并直接寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo)：　 　；

②若AE＝2，求點(diǎn)C關(guān)于等邊三角形AOC的反稱(chēng)點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）若等邊三角形ABC的頂點(diǎn)為B（n，0），C（n+1，0），反稱(chēng)中心E在直線(xiàn)AB上，反稱(chēng)點(diǎn)D在直線(xiàn)BC上，且2≤AE＜3．請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)C關(guān)于等邊三角形ABC的反稱(chēng)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)t的取值范圍：　 　（用含n的代數(shù)式表示）．

Answer 1

【答案】(1)①D（-1,0）; ②D(2,0);(2) 或

【解析】

（1）①根據(jù)題中反稱(chēng)點(diǎn)與反稱(chēng)中心的定義做出點(diǎn)D，可得坐標(biāo)；

②易得AO=OC=2，由AE=2,分E點(diǎn)的兩個(gè)可能的位置（如圖3，圖4）討論，可得D點(diǎn)的值；

(2)由（1）可得反稱(chēng)點(diǎn)與反稱(chēng)中心的規(guī)律，當(dāng)B(n,0)，C(n+1,0)，2≤AE<3可得或.

（1）① 如圖，

或

D(-1,0)

② ∵等邊三角形AOC的兩個(gè)頂點(diǎn)為O(0,0)，C(2,0),

∴OC=2.

∴AO=OC=2.

由AE=2可知，點(diǎn)E有兩個(gè)可能的位置（如圖3，圖4）.

圖3 圖4

(ⅰ) 如圖3，點(diǎn)E與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合.

∵EC=ED，EC=2,

∴ED=2.

∵D是邊OC所在直線(xiàn)上一點(diǎn)，且D與C不重合,

∴D點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0) .

(ⅱ) 如圖4，點(diǎn)E在邊OA的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且AE=2.

∵AC=AE=2,

∴∠E=∠ACE.

∵△AOC為等邊三角形,

∴∠OAC =∠ACO=60°.

∴∠E=∠ACE=30°.

∴∠OCE=90°.

∵EC=ED,

∴點(diǎn)D與點(diǎn)C重合.

這與題目條件中的D與C不重合矛盾，所以圖4中的情況不符合要求，舍去.

綜上所述：D(2,0). …

（2）或.