【題目】已知:如圖,⊙O的半徑為r,在射線OM上任取一點(diǎn)P(不與點(diǎn)O重合),如果射線OM上的點(diǎn)P',滿足OP·OP'=r2,則稱點(diǎn)P'為點(diǎn)P關(guān)于⊙O的反演點(diǎn).
在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知⊙O的半徑為2.
(1)已知點(diǎn)A (4,0),求點(diǎn)A關(guān)于⊙O的反演點(diǎn)A'的坐標(biāo);
(2)若點(diǎn)B關(guān)于⊙O的反演點(diǎn)B'恰好為直線與直線x=4的交點(diǎn),求點(diǎn)B的坐標(biāo);
(3)若點(diǎn)C為直線上一動點(diǎn),且點(diǎn)C關(guān)于⊙O的反演點(diǎn)C'在⊙O的內(nèi)部,求點(diǎn)C的橫坐標(biāo)m的范圍;
(4)若點(diǎn)D為直線x=4上一動點(diǎn),直接寫出點(diǎn)D關(guān)于⊙O的反演點(diǎn)D'的橫坐標(biāo)t的范圍.
【答案】(1)A’(1,0);(2)B(,);(3)m >1或 m <-1;(4)0<t≤1.
【解析】
(1)由反演點(diǎn)的定義可求解;
(2)先求出點(diǎn)B'坐標(biāo),可求OB'的長,由反演點(diǎn)的定義可求OB的長,即可求解;
(3)由題意可得OC'<2,且OCOC'=4,可得OC>2,即點(diǎn)C在⊙O的外部,即可求解;
(4)由題意可得OD≥4,且ODOD'=4,可得0<OD'≤1,即可求解.
(1)∵點(diǎn)A (4,0),
∴OA=4,
∵點(diǎn)A'為點(diǎn)A關(guān)于⊙O的反演點(diǎn),
∴OAOA'=22=4,
∴OA'=1,
∴A'坐標(biāo)(1,0);
(2)如圖,過點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E,
∵B'恰好為直線與直線x=4的交點(diǎn),
∴,
∴ 點(diǎn)坐標(biāo)為(4,).
∴OA=4,AB'=,
∴ ,
∵,
,
∵點(diǎn)B'為點(diǎn)B關(guān)于⊙O的反演點(diǎn),
∴OBOB'=22=4,
∴OB=,
∵∠OBE=90°-∠BOE=30°,
∴,,
∴點(diǎn)B坐標(biāo)為(,);
(3)∵點(diǎn)C為直線上一動點(diǎn),且點(diǎn)C關(guān)于⊙O的反演點(diǎn)C'在⊙O的內(nèi)部,
∴,
∵OCOC'=4,
∴OC,
∴點(diǎn)C在⊙O的外部,直線與⊙O的兩個交點(diǎn)坐標(biāo)的橫坐標(biāo)為,
∴ m的取值范圍是 m >1或 m <-1.
(4)∵點(diǎn)D為直線上一動點(diǎn),
∴OD≥4,
∵ODOD'=4,
∴0<OD'≤1,
∴D'的橫坐標(biāo)t的范圍是:0<t≤1.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,已知A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(2,0),(0,10),P是△AOB外接圓⊙C上的一點(diǎn),OP交AB于點(diǎn) D.
(1)當(dāng)OP⊥AB時,求OP;
(2)當(dāng)∠AOP=30°時,求AP.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,把△沿對折,疊合后的圖形如圖所示.若,,則∠2的度數(shù)為( )
A. 24° B. 35° C. 30° D. 25°
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在一次課題學(xué)習(xí)中活動中,老師提出了如下一個問題:
點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn),過點(diǎn)P畫直線l分別交正方形的兩邊于點(diǎn)M、N,使點(diǎn)P是線段MN的三等分點(diǎn),這樣的直線能夠畫幾條?
經(jīng)過思考,甲同學(xué)給出如下畫法:
如圖1,過點(diǎn)P畫PE⊥AB于E,在EB上取點(diǎn)M,使EM=2EA,畫直線MP交AD于N,則直線MN就是符合條件的直線l.
根據(jù)以上信息,解決下列問題:
(1)甲同學(xué)的畫法是否正確?請說明理由.
(2)在圖1中,能否畫出符合題目條件的直線?如果能,請直接在圖1中畫出.
(3)如圖2,A1、C1分別是正方形ABCD的邊AB、CD上的三等分點(diǎn),且A1C1∥AD.當(dāng)點(diǎn)P在線段A1C1上時,能否畫出符合題目條件的直線?如果能,可以畫出幾條?
(4)如圖3,正方形ABCD邊界上的A1、A2、B1、B2、C1、C2、D1、D2都是所在邊的三等分點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)P在正方形ABCD內(nèi)的不同位置時,試討論,符合題目條件的直線l的條數(shù)的情況.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,函數(shù)與的圖像在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)A,在求點(diǎn)A坐標(biāo)時,小明由于看錯了k,解得A(1 , 3);小華由于看錯了m,解得A(1, ).
(1)求這兩個函數(shù)的關(guān)系式及點(diǎn)A的坐標(biāo);
(2)根據(jù)函數(shù)圖象回答:若,請直接寫出x的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,AB是⊙O的直徑,△ABC內(nèi)接于⊙O.點(diǎn)D在⊙O上,AD平分∠CAB交BC于點(diǎn)E,DF是⊙O的切線,交AC的延長線于點(diǎn)F.
(1)求證;DF⊥AF;
(2)若⊙O的半徑是5, AD=8,求DF的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校為調(diào)查“停課不停學(xué)”期間九年級學(xué)生平均每天上網(wǎng)課時長,隨機(jī)抽取了名九年級學(xué)生做網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查.共四個選項(xiàng):小時以下)、小時)、小時), 小時以上),每人只能選一
項(xiàng).并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下不完整的統(tǒng)計(jì)表和統(tǒng)計(jì)圖.
被調(diào)查學(xué)生平均每天上網(wǎng)課時間統(tǒng)計(jì)表
時長 | 所占百分比 |
合計(jì) |
根據(jù)以上信息,解答下列問題:
, ,
補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
該校有九年級學(xué)生名,請你估計(jì)仝校九年級學(xué)生平均每天上網(wǎng)課時長在小時及以上的共多少名;
在被調(diào)查的對象中,平均每天觀看時長超過小時的,有名來自九班,名來自九班,其余都來自九班,現(xiàn)教導(dǎo)處準(zhǔn)備從選項(xiàng)中任選兩名學(xué)生進(jìn)行電話訪談,請用列表法或畫樹狀圖的方法求所抽取的名學(xué)生恰好來自同一個班級的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,是的直徑,點(diǎn)是上一點(diǎn),點(diǎn)是的中點(diǎn),過點(diǎn)作的切線,與、的延長線分別交于點(diǎn)、,連接.
(1)求證:;
(2)直接回答:①已知,當(dāng)為何值時,?
②連接、、,當(dāng)等于多少度時,四邊形是菱形?
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【題目】2020年3月20日,深圳市民中心及周邊樓宇為當(dāng)日返回深圳的援鄂醫(yī)療隊(duì)員亮燈,歡迎最美逆行者回家.小洪在歡迎英雄回家現(xiàn)場,如圖,若他觀測到英雄畫像電子屏頂端A和底端C的仰角分別為∠α和∠β,小洪所站位置E到電子屏邊緣AC垂直地面的B點(diǎn)距離為m米,那么英雄畫像電子屏高AC為( )
A.米B.mtan(α﹣β)米
C.m(tanα﹣tanβ)米D.米
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