【題目】如圖,二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A(﹣1,0),B(2,0),與y軸相交于點(diǎn)C.
(1)求二次函數(shù)的解析式;
(2)若點(diǎn)E是第一象限的拋物線上的一個動點(diǎn),當(dāng)四邊形ABEC的面積最大時,求點(diǎn)E的坐標(biāo),并求出四邊形ABEC的最大面積;
(3)若點(diǎn)M在拋物線上,且在y軸的右側(cè).⊙M與y軸相切,切點(diǎn)為D.以C,D,M為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似,請直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo).
【答案】(1)二次函數(shù)的解析式為y=﹣x2+x+2;(2)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(1,2),且四邊形ABEC的最大面積為4;(3)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(, ),(, ),(3,-4) .
【解析】試題分析:(1)把A、B的坐標(biāo)代入即可得到答案;
(2)設(shè) E(a,b),先表示出四邊形ABEC的面積S,再配方即可;
(3)分兩種情況討論, ,或.
試題解析:(1)∵ 二次函數(shù)的圖象與x軸相交于點(diǎn)A(﹣1,0),B(2,0),
∴,解得: ,∴ 二次函數(shù)的解析式為;
(2)如圖1.
∵二次函數(shù)的解析式為與y軸相交于點(diǎn)C,∴ C(0,2),設(shè) E(a,b),且a >0,b >0,∵ A(-1,0),B(2,0),∴ OA=1,OB=2,OC=2,則S四邊形ABEC= = ,∵ 點(diǎn) E(a,b)是第一象限的拋物線上的一個動點(diǎn),∴,∴,∴ 當(dāng)四邊形ABEC的面積最大時,點(diǎn)E的坐標(biāo)為(1,4),且四邊形ABEC的最大面積為4;
(3)如圖2.
設(shè)M(m,n),且m>0,∵ 點(diǎn)M在二次函數(shù)的圖象上,∴,∵ ⊙M與y軸相切,切點(diǎn)為D,∴ ∠MDC =90°,∵ 以C,D,M為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似,∴,或,
①當(dāng)n >2時, ,解得 m1=0(舍去),m2=, 或m3=0(舍去),m4=-1(舍去);
②同理可得,當(dāng)n<2時,m1=0(舍去) ,m2=,或m3=0(舍去),m4=3;
綜上,滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為(, ),(, ),(3,-4).
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【題目】解方程:
(1)x2-4x-1=0;
(2)x2+3x-2=0;
(3)2x2+3x+3=0;
(4)(2x-1)2=x(3x+2)-7.
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【題目】如圖,在△ABC中,∠A=90°,∠C=30°,AD⊥BC于D,BE是∠ABC的平分線,且交AD于P,如果AP=2,則P點(diǎn)到AB的距離為( )
A.1B.2C.3D.4
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【題目】已知一張三角形紙片如圖甲,其中將紙片沿過點(diǎn)B的直線折疊,使點(diǎn)C落到AB邊上的E點(diǎn)處,折痕為如圖乙再將紙片沿過點(diǎn)E的直線折疊,點(diǎn)A恰好與點(diǎn)D重合,折痕為如圖丙原三角形紙片ABC中,的大小為______
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【題目】近年來,共享單車服務(wù)的推出(如圖1),極大的方便了城市公民綠色出行,圖2是某品牌某型號單車的車架新投放時的示意圖(車輪半徑約為30cm),其中BC∥直線l,∠BCE=71°,CE=54cm.
(1)求單車車座E到地面的高度;(結(jié)果精確到1cm)
(2)根據(jù)經(jīng)驗(yàn),當(dāng)車座E到CB的距離調(diào)整至等于人體胯高(腿長)的0.85時,坐騎比較舒適.小明的胯高為70cm,現(xiàn)將車座E調(diào)整至座椅舒適高度位置E′,求EE′的長.(結(jié)果精確到0.1cm)
(參考數(shù)據(jù):sin71°≈0.95,cos71°≈0.33,tan71°≈2.90)
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【題目】關(guān)于x的方程|x2﹣x|﹣a=0,給出下列四個結(jié)論:①存在實(shí)數(shù)a,使得方程恰有2個不同的實(shí)根; ②存在實(shí)數(shù)a,使得方程恰有3個不同的實(shí)根;③存在實(shí)數(shù)a,使得方程恰有4個不同的實(shí)根;④存在實(shí)數(shù)a,使得方程恰有6個不同的實(shí)根;其中正確的結(jié)論個數(shù)是( 。
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【題目】如圖,一次函數(shù)y=﹣x+5的圖象與反比例函數(shù)y=(k≠0)在第一象限的圖象交于A(1,n)和B兩點(diǎn).(1)求反比例函數(shù)的解析式;
(2)在第一象限內(nèi),當(dāng)一次函數(shù)y=﹣x+5的值大于反比例函數(shù)y=(k≠0)的值時,寫出自變量x的取值范圍.
(3)求△ABO的面積.
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【題目】如圖,小島在港口P的北偏西60°方向,距港口56海里的A處,貨船從港口P出發(fā),沿北偏東45°方向勻速駛離港口P,4小時后貨船在小島的正東方向,求貨船的航行速度.(結(jié)果保留根號)
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【題目】如圖,在四邊形ABCD中,∠B=∠C=90°,∠DAB與∠ADC的平分線相交于BC邊上的M點(diǎn),則下列結(jié)論:①∠AMD=90°;②M為BC的中點(diǎn);③AB+CD=AD;④ ;⑤M到AD的距離等于BC的一半;其中正確的有( )
A. 2個 B. 3個 C. 4個 D. 5個
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