Question

【題目】如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-4,0)，P是拋物線上一點(diǎn) （點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、C不重合）．

（1）b=　　，點(diǎn)B的坐標(biāo)是　　；

（2）設(shè)直線PB直線AC交于點(diǎn)M，是否存在這樣的點(diǎn)P，使得PM:MB=1:2？若存在，求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

（3）連接AC、BC，判斷∠CAB和∠CBA的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（，0）；（2）存在點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為或．（3）∠CBA=2∠CAB.理由見解析.

【解析】

（1）由點(diǎn)A的坐標(biāo)，利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出b的值，代入y=0求出x值，進(jìn)而可得出點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）（解法一）代入x=0求出y值，進(jìn)而可得出點(diǎn)C的坐標(biāo)，由點(diǎn)A、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求出直線AC的解析式，假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，m+2），分B、P在直線AC的同側(cè)和異側(cè)兩種情況考慮，由點(diǎn)B、M的坐標(biāo)結(jié)合PM：MB=1：2即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得出關(guān)于m的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論；

（解法二）代入x=0求出y值，進(jìn)而可得出點(diǎn)C的坐標(biāo)，由點(diǎn)A、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求出直線AC的解析式，過點(diǎn)B作BB′∥y軸交直線AC于點(diǎn)B′，過點(diǎn)P作PP′∥y軸交直線AC于點(diǎn)P′，由點(diǎn)B的坐標(biāo)可得出BB′的值，結(jié)合相似三角形的性質(zhì)可得出PP′的值，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，-x2-x+2），則點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（x，x+2），結(jié)合PP′的值可得出關(guān)于x的含絕對值符號的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論；

（3）作∠CBA的角平分線，交y軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥BC于點(diǎn)F，設(shè)OE=n，則CE=2-n，EF=n，利用面積法可求出n值，進(jìn)而可得出，結(jié)合∠AOC=90°=∠BOE可證出△AOC∽△BOE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得出∠CAO=∠EBO，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得出∠CBA=2∠EBO=2∠CAB，此題得解．

（1）點(diǎn)在二次函數(shù)的圖象上，

，

．

當(dāng)時， 有，

解得：，，

點(diǎn)的坐標(biāo)為，．

故答案為：；，．

（2） （方 法一） 當(dāng)時，，

點(diǎn)的坐標(biāo)為．

設(shè)直線的解析式為，

將、代入中，

得：，解得：，

直線的解析式為．

假設(shè)存在， 設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為．

①當(dāng)點(diǎn)、在直線的異側(cè)時， 點(diǎn)的坐標(biāo)為，，

點(diǎn)在拋物線上，

，

整理， 得：．

△，

方程無解， 即不存在符合題意得點(diǎn)；

②當(dāng)點(diǎn)、在直線的同側(cè)時， 點(diǎn)的坐標(biāo)為，，

點(diǎn)在拋物線上，

，

整理， 得：，

解得：，，

點(diǎn)的橫坐標(biāo)為或．

綜上所述： 存在點(diǎn)，使得，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為或．

（3），理由如下：

作的角平分線， 交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖 2 所示 ．

點(diǎn)，，點(diǎn)，

，，．

設(shè)，則，，

由面積法， 可知：，即，

解得：．

，，

，

，

．