Question

【題目】如圖，矩形EFGH的四個頂點分別在矩形ABCD的各條邊上，AB＝EF，FG＝2，GC＝3．有以下四個結論：①∠BGF＝∠CHG；②△BFG≌△DHE；③tan∠BFG＝；④矩形EFGH的面積是4．其中一定成立的是______．(把所有正確結論的序號填在橫線上)

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

根據矩形的性質和同角的余角相等可判定①；根據AAS可判定②；先證△BFG∽△CGH，根據相似三角形的性質及勾股定理判定③；由③中求得的數(shù)據結合已知，根據矩形面積公式判定④.

∵∠FGH＝90°，∴∠BGF+∠CGH＝90°．

又∵∠CGH+∠CHG＝90°，

∴∠BGF＝∠CHG，故①正確．

同理可得∠DEH＝∠CHG．

∴∠BGF＝∠DEH．

又∵∠B＝∠D＝90°，FG＝EH，

∴△BFG≌△DHE，故②正確．

同理可得△AFE≌△CHG．

∴AF＝CH．

易得△BFG∽△CGH．

設GH、EF為a，

∴

∴

∴BF＝

∴AF＝AB﹣BF＝a﹣

∴CH＝AF＝a﹣．

在Rt△CGH中，

∵CG2+CH2＝GH2，

∴32+(a﹣)2＝a2．解得a＝2．

∴GH＝2．

∴BF＝a﹣＝．

在Rt△BFG中，∵cos∠BFG＝＝，∴∠BFG＝30°．

∴tan∠BFG＝tan30°＝，故③錯誤．

矩形EFGH的面積＝FG×GH＝2×2＝4，故④正確．

故答案為：①②④