Question

19．PA切⊙O于點(diǎn)P，AB交⊙O于C、B兩點(diǎn)．
（1）如圖1，求證：∠APC=∠ABP；
（2）如圖2，M是⊙O內(nèi)一點(diǎn)，AM交⊙O于點(diǎn)N，若PA=6，MN=NA=3，OM=2，求⊙O半徑的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接OP，根據(jù)切線的性質(zhì)和圓周角定理得出∠OPA=∠BPC=90°，即可證得∠OPB=∠APC，根據(jù)等邊對(duì)等角證得∠ABP=∠OPB，即可證得∠APC=∠ABP；
（2）延長(zhǎng)AM，交⊙O于點(diǎn)H，作直線OM，交⊙O于兩點(diǎn)E、F，由PA²=AN•AH，求得AH=12，即可得出MH=AH-AM=6，設(shè)⊙O的半徑為r，則EM=r+2，F(xiàn)M=r-2，根據(jù)相交弦定理得出（r+2）（r-2）=6×3，即可求得半徑．

解答 （1）證明：連接OP，
∵PA切⊙O于點(diǎn)P，
∴OP⊥PA，
∴∠APC+∠OPC=90°，
∵BC是直徑，
∴∠BPC=90°，
∴∠OPB+∠OPC=90°，
∴∠OPB=∠APC，
∵OP=OB，
∴∠ABP=∠OPB，
∴∠APC=∠ABP；
（2）解：延長(zhǎng)AM，交⊙O于點(diǎn)H，作直線OM，交⊙O于兩點(diǎn)E、F，
∵PA切⊙O于點(diǎn)P，
∴PA²=AN•AH，即6²=3AH，
∴AH=12，
∴MH=AH-AM=12-3-3=6，
設(shè)⊙O的半徑為r，則EM=r+2，F(xiàn)M=r-2，
∵EM•FM=HM•MN，
∴（r+2）（r-2）=6×3，
解得r=$\sqrt{22}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)以及相交弦定理，作出輔助線創(chuàng)造應(yīng)用相交弦定理的條件是解題的關(guān)鍵．