Question

9．已知：平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=kx+b（k≠0）與直線y=mx（m≠0）交于點(diǎn)A（-2，4）．
（1）求直線y=mx（m≠0）的解析式；
（2）若直線y=kx+b（k≠0）與另一條直線y=2x交于點(diǎn)B，且點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為-4，求△ABO的面積；
（3）過點(diǎn)B的直線與X軸交于點(diǎn)D，且線段BD被直線AO平分，求點(diǎn)D的坐標(biāo)及其BD的解析式．

Answer 1

分析 （1）把點(diǎn)A（-2，4）代入直線y=mx，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出直線y=mx（m≠0）的解析式；
（2）先把x=-4代入y=2x，求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再將A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=kx+b，運(yùn)用待定系數(shù)法求出其解析式，設(shè)直線AB與x軸交于點(diǎn)C，則△ABO的面積=△AOC的面積+△BOC的面積
（3）過點(diǎn)B作y軸的垂線，交直線AO于點(diǎn)E，直線AO與直線BD交于點(diǎn)F，可得出△OFD≌△EFB，從而得出點(diǎn)D坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A（-2，4）在直線y=mx上，
∴4=-2m，
∴m=-2．
∴y=-2x；
（2）設(shè)直線AB與x軸交于點(diǎn)C．
把x=-4代入y=2x，得y=-8，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-4，-8）．
∵點(diǎn)A（-2，4）、點(diǎn)B（-4，-8）在直線y=kx+b上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=4}\\{-4k+b=-8}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=6}\\{b=16}\end{array}\right.$，
∴y=6x+16．
令y=0，得x=-$\frac{8}{3}$．
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-$\frac{8}{3}$，0），
∴△ABO的面積=△AOC的面積+△BOC的面積=$\frac{1}{2}$×$\frac{8}{3}$×4+$\frac{1}{2}$×$\frac{8}{3}$×8=16；
（3）過點(diǎn)B作y軸的垂線，交直線AO于點(diǎn)E，直線AO與直線BD交于點(diǎn)F，
∵點(diǎn)B（-4，-8），
∴E（4，-8），
∴BE=8，
在△OFD和△EFB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EBF=∠ODF}\\{BF=DF}\\{∠BFE=∠OFD}\end{array}\right.$，
∴△OFD≌△EFB（ASA），
∴BE=OD，
∴D（8，0），
設(shè)BD解析式為y=mx+n，
把點(diǎn)B，D代入y=mx+n，得$\left\{\begin{array}{l}{8m+n=0}\\{-4m+n=-8}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{2}{3}}\\{n=-\frac{16}{3}}\end{array}\right.$．
∴直線BD的解析式為y=$\frac{2}{3}$x-$\frac{16}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，交點(diǎn)坐標(biāo)的求法及三角形的面積，屬于基礎(chǔ)題型，難度中等．