【題目】如圖1:在RtABC中,ABAC,DBC邊上一點(不與點B,C重合),試探索AD,BDCD之間滿足的等量關系,并證明你的結論.小明同學的思路是這樣的:將線段AD繞點A逆時針旋轉90°,得到線段AE,連接ECDE.繼續(xù)推理就可以使問題得到解決.

1)請根據(jù)小明的思路,試探索線段AD,BD,CD之間滿足的等量關系,并證明你的結論;

2)如圖2,在RtABC中,ABAC,DABC外的一點,且∠ADC45°,線段AD,BDCD之間滿足的等量關系又是如何的,請證明你的結論;

3)如圖3,已知AB是⊙O的直徑,點CD是⊙O上的點,且∠ADC45°

①若AD6,BD8,求弦CD的長為   ;

②若AD+BD14,求的最大值,并求出此時⊙O的半徑.

【答案】1CD2+BD22AD2,見解析;(2BD2CD2+2AD2,見解析;(3)①7,②最大值為,半徑為

【解析】

1)先判斷出∠BADCAE,進而得出ABD≌△ACE,得出BDCE,∠B=∠ACE,再根據(jù)勾股定理得出DE2CD2+CE2CD2+BD2,在RtADE中,DE2AD2+AE22AD2,即可得出結論;

2)同(1)的方法得,ABD≌△ACESAS),得出BDCE,再用勾股定理的出DE22AD2CE2CD2+DE2CD2+2AD2,即可得出結論;

3)先根據(jù)勾股定理的出DE2CD2+CE22CD2,再判斷出ACE≌△BCDSAS),得出AEBD,

①將AD6,BD8代入DE22CD2中,即可得出結論;

②先求出CD7,再將AD+BD14,CD7代入,化簡得出﹣(AD2+,進而求出AD,最后用勾股定理求出AB即可得出結論.

解:(1CD2+BD22AD2,

理由:由旋轉知,ADAE,∠DAE90°=∠BAC

∴∠BAD=∠CAE,

ABAC,

∴△ABD≌△ACESAS),

BDCE,∠B=∠ACE

RtABC中,ABAC,

∴∠B=∠ACB45°

∴∠ACE45°,

∴∠DCE=∠ACB+ACE90°

根據(jù)勾股定理得,DE2CD2+CE2CD2+BD2

RtADE中,DE2AD2+AE22AD2,

CD2+BD22AD2;

2BD2CD2+2AD2,

理由:如圖2,

將線段AD繞點A逆時針旋轉90°,得到線段AE,連接EC,DE,

同(1)的方法得,ABD≌△ACESAS),

BDCE,在RtADE中,ADAE,

∴∠ADE45°

DE22AD2,

∵∠ADC45°,

∴∠CDE=∠ADC+ADE90°

根據(jù)勾股定理得,CE2CD2+DE2CD2+2AD2,

即:BD2CD2+2AD2;

3)如圖3,過點CCECDDA的延長線于E,

∴∠DCE90°

∵∠ADC45°,

∴∠E90°﹣∠ADC45°=∠ADC

CDCE,

根據(jù)勾股定理得,DE2CD2+CE22CD2,

連接ACBC,

AB是⊙O的直徑,

∴∠ACB=∠ADB90°,

∵∠ADC45°,

∴∠BDC45°=∠ADC

ACBC,

∵∠DCE=∠ACB90°

∴∠ACE=∠BCD,

∴△ACE≌△BCDSAS),

AEBD

AD6,BD8,

DEAD+AEAD+BD14,

2CD2142

CD7,

故答案為7;

②∵AD+BD14

CD7,

ADBD+×7)=ADBD+7

ADBD+7ADAD14AD+7AD=﹣AD2+21AD=﹣(AD2+

∴當AD時,的最大值為

AD+BD14,

BD14,

RtABD中,根據(jù)勾股定理得,AB

∴⊙O的半徑為OAAB

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