【題目】如圖1.已知⊙Mx軸交于A、B兩點,與y軸交于C、D兩點,A、B兩點的橫坐標分別為﹣17,弦AB的弦心距MN3,

1)求⊙M的半徑;

2)如圖2P在弦CD上,且CP2,Q是弧BC上一動點,PQ交直徑CF于點E,當∠CPQ=∠CQD時,

①判斷線段PQ與直徑CF的位置關系,并說明理由;

②求CQ的長;

3)如圖3.若P點是弦CD上一動點,Q是弧BC上一動點,PQ交直徑CF于點E,當∠CPQ與∠CQD互余時,求△PEM面積的最大值.

【答案】15;(2)①PQCF;詳見解析;②4;(3)△PEM面積的最大值為3

【解析】

1)連接MB,根據(jù)題意得出AB=8,再結(jié)合垂徑定理可得BN=4,最后進一步利用勾股定理計算求解即可;

2)①連接DF,由圓周角定理得出∠CDF=90°,由此進一步證明∠CEP90°即可;②作MNABNMGCDG,延長QP交⊙MH,從而通過分析可得AN=4,MN=3,MG=ON=3,再者得出MN=MG,進一步證明CD=AB=8,然后利用勾股定理求得DF=6,接著證明△CPE與△CFD相似,利用相似三角形性質(zhì)得出CEPE的長,從而求出EF,最后在此基礎上進一步分析求解即可;

3)先證出∠DCF=CPQ,得出CE=PE,再作EKCPKPTCMT,連接DF,則CKPK,據(jù)此設EK3x,則CK4x,CEPE5x,PC8x,接著證明△CPT~CFD,利用相似三角形性質(zhì)得出PT,CT,最后根據(jù)三角形面積公式得到△PEM的面積,由此利用二次函數(shù)的性質(zhì)進一步求解即可.

1)連接MB,如圖1所示:

A、B兩點的橫坐標分別為7,

AB8,

MNAB

BN4,

RtBMN中,由勾股定理得:

,

∴⊙M的半徑為5;

2)①PQCF;理由如下:

連接DF,如圖2所示,

CF是⊙M的直徑,

∴∠CDF90°,

∴∠CFD+DCF90°,

∵∠CQD=∠CFD,

∴∠CQD+DCF90°,

∵∠CPQ=∠CQD,

∴∠CPQ+DCF90°,

∴∠CEP90°,

PQCF;

②作MNABN,MGCDG,延長QP交⊙MH,如圖3所示:

AN4MN3,MGON3,

MNMG,

CDAB8

RtCDF中,CF2BM10,

由①得:PQCF,

∴∠CEP=∠CDF90°,EHEQ,

∵∠PCE=∠FCD,

∴△CPE~CFD

,

,

解得:CEPE,

EFCFCE,

EQ×EHCE×EF,即,

RtCPE中,由勾股定理得:;

3)∵CF是⊙M的直徑,

∴∠CDF90°,

∴∠F+DCF90°,

∵∠CQD=∠F

∴∠CQD+DCF90°,

∵∠CPQ+CQD90°,

∴∠DCF=∠CPQ,

CEPE,

EKCPKPTCMT,再連接DF,如圖4所示,

CKPK,

EK3x,則CK4xCEPE5x,PC8x

∵∠PCT=DCF,∠CTP=CDF=90°,

∴△CPT~CFD

,

PT,CT

∴△PEM的面積

,

S有最大值,且當時,S的最大值為3,

即△PEM面積的最大值為3

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