【題目】已知,點(diǎn)P是直角三角形ABC斜邊AB上一點(diǎn)(不與AB重合),分別過A,B向直線CP作垂線,垂足分別為E,F,Q為斜邊AB的中點(diǎn).

1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合時,AEBF的位置關(guān)系是  ,QEQF的數(shù)量關(guān)系是 

2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上不與點(diǎn)Q重合時,若ACBCCEAE1:3,△FBQ的面積等于3,求△AQE的面積;

3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)P在線段BA的延長線上時,請畫出符合條件的圖形.若ACBC,AECE1:3,△FEQ的面積等于3,求△AQE的面積.

【答案】1AEBF,QE=QF;(29;(3.

【解析】

1)根據(jù)AAS推出AEQ≌△BFQ,推出AE=BF即可;(2)延長EQBFD,求出AEQ≌△BDQ,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EA=BD,再證明AEQ≌△BDQ,所以AE=BD,CE=BF,又因?yàn)?/span>CEAE1:3,從而得BF:BD=1:3,FBQ的面積:DBQ的面積=1:3,計(jì)算DBQ的面積=9,從而求解;(3)方法同(2)證出 RtAECRtCFB,連接CQ, AECE1:3,得CFCE1:3,再根據(jù)高相等的三角形面積比等于底的比得出CFQ的面積與EFQ的面積面積比,從而求出CFQ的面積,然后根據(jù)SAS 證明 QAE≌△QCF,從而求解.

解:(1)當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合時,AEBF的位置關(guān)系是AEBF,QEQF的數(shù)量關(guān)系是AE=BF,
理由是:∵QAB的中點(diǎn),
AQ=BQ,
AECQ,BFCQ,
AEBF,∠AEQ=BFQ=90°,
AEQBFQ中,


∴△AEQ≌△BFQ,
QE=QF,
故答案為:AEBF,QE=QF;

(2) 延長EQBFD,如圖2

∵由(1)知:AEBF
∴∠AEQ=BDQ,
AEQBDQ中,

∴△AEQ≌△BDQ

AE=BD,

∵∠ACE+FCB=FCB+CBF=90°

∴∠ACE =CBF

又∵∠AEC=CFB=90°,AC=CB,

∴△AEQ≌△BDQ

AE=BD,CE=BF

又∵CEAE1:3,∴BF:BD=1:3,FBQ的面積:DBQ的面積=1:3

又∵FBQ的面積等于3,∴DBQ的面積=9,
AEQ≌△BDQ,

AEQ的面積=9

3)圖形如下:連接CQ,

方法同(2)可得:RtAECRtCFB(一線三等角),

AE=CF,EC=FB,∠EAC=FCB,

AECE1:3,

CFCE1:3

∴△CFQ的面積:ECQ的面積=1:3,CFQ的面積:EFQ的面積=1:4,FEQ的面積等于3,

即:CFQ的面積=,

Q為斜邊AB的中點(diǎn),AC=BC,

CQ=AQ,∠QAC=QCB=45°,

∴∠EAC+QAC =FCB+QCB,

即∠QAE=QCF

QAE≌△QCF (SAS)

AQE的面積=CFQ的面積=

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1 ;

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∴∠HEG=180°-CGE ),

∴∠FEG=HFG+FEH= .

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