【題目】(11分)如圖,拋物線y=ax2+bx﹣3與x軸交于A,B兩點,與y軸交于C點,且經過點(2,﹣3a),對稱軸是直線x=1,頂點是M.
(1)求拋物線對應的函數表達式;
(2)經過C,M兩點作直線與x軸交于點N,在拋物線上是否存在這樣的點P,使以點P,A,C,N為頂點的四邊形為平行四邊形?若存在,請求出點P的坐標;若不存在,請說明理由;
(3)設直線y=﹣x+3與y軸的交點是D,在線段BD上任取一點E(不與B,D重合),經過A,B,E三點的圓交直線BC于點F,試判斷△AEF的形狀,并說明理由;
(4)當E是直線y=﹣x+3上任意一點時,(3)中的結論是否成立(請直接寫出結論).
【答案】(1)y=x2﹣2x﹣3;(2)存在,P(2,﹣3);(3)△AEF是等腰直角三角形.理由見解析;(4)△AEF是等腰直角三角形.
【解析】試題分析:(1)依題意聯立方程組求出a,b的值后可求出函數表達式;
(2)分別令x=0,y=0求出A、B、C三點的坐標,然后易求直線CM的解析式.證明四邊形ANCP為平行四邊形可求出點P的坐標;
(3)求出直線y=-x+3與坐標軸的交點D,B的坐標.然后證明∠AFE=∠ABE=45°,AE=AF,可證得三角形AEF是等腰直角三角形;
(4)根據(3)中所求,即可得出當E是直線y=-x+3上任意一點時,(3)中的結論仍成立.
試題解析:(1)根據題意,得,
解得,
∴拋物線對應的函數表達式為y=x22x3;
(2)存在.連接AP,CP,
如下圖所示:
在y=x22x3中,令x=0,得y=3.
令y=0,得x22x3=0,
∴x1=1,x2=3.
∴A(1,0),B(3,0),C(0,3).
又y=(x1)24,
∴頂點M(1,4),
容易求得直線CM的表達式是y=x3.
在y=x3中,令y=0,得x=3.
∴N(3,0),
∴AN=2,
在y=x22x3中,令y=3,得x1=0,x2=2.
∴CP=2,
∴AN=CP.
∵AN∥CP,
∴四邊形ANCP為平行四邊形,此時P(2,3);
(3)△AEF是等腰直角三角形.
理由:在y=x+3中,令x=0,得y=3,令y=0,得x=3.
∴直線y=x+3與坐標軸的交點是D(0,3),B(3,0).
∴OD=OB,
∴∠OBD=45°,
又∵點C(0,3),
∴OB=OC.
∴∠OBC=45°,
由圖知∠AEF=∠ABF=45°,∠AFE=∠ABE=45°,
∴∠EAF=90°,且AE=AF.
∴△AEF是等腰直角三角形;
(4)當點E是直線y=x+3上任意一點時,(3)中的結論:△AEF是等腰直角三角形成立.
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【題目】如圖,AB是⊙O的一條弦,E是AB的中點,過點E作EC⊥OA于點C,過點B作⊙O的切線交CE的延長線于點D.
(1)求證:DB=DE;
(2)若AB=12,BD=5,過D點作DF⊥AB于點F,
①則cos∠EDF= ;
②求⊙O的半徑.
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【題目】如圖,平行四邊形ABCD的面積為32,對角線BD繞著它的中點O按順時針方向旋轉一定角度后,其所在直線分別交BC,AD于點E、F,若AF=3DF,則圖中陰影部分的面積等于_____
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【題目】如圖,⊙O是△ABC的外接圓,O點在BC邊上,∠BAC的平分線交⊙O于點D,連接BD、CD,過點D作BC的平行線,與AB的延長線相交于點P.
(1)求證:PD是⊙O的切線;
(2)求證:△PBD∽△DCA;
(3)當AB=6,AC=8時,求線段PB的長.
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【題目】甲、乙兩城市之間開通了動車組高速列車.已知每隔2h有一列速度相同的動車組列車從甲城開往乙城.如圖,OA是第一列動車組列車離開甲城的路程s(km)與運行時間t(h)的函數圖象,BC是一列從乙城開往甲城的普通快車距甲城的路程s(km)與運行時間t(h)的函數圖象.請根據圖中的信息,解答下列問題:
(1)從圖象看,普通快車發(fā)車時間比第一列動車組列車發(fā)車時間 1h(填”早”或”晚”),點B的縱坐標600的實際意義是 ;
(2)請直接在圖中畫出第二列動車組列車離開甲城的路程s(km)與時間t(h)的函數圖象;
(3)若普通快車的速度為100km/h,
①求第二列動車組列車出發(fā)多長時間后與普通快車相遇?
②請直接寫出這列普通快車在行駛途中與迎面而來的相鄰兩列動車組列車相遇的時間間隔.
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【題目】如圖①,將邊長為2的正方形OABC如圖①放置,O為原點.
(Ⅰ)若將正方形OABC繞點O逆時針旋轉60°時,如圖②,求點A的坐標;
(Ⅱ)如圖③,若將圖①中的正方形OABC繞點O逆時針旋轉75°時,求點B的坐標.
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【題目】已知x2=1,求的值.
解:因為,所以
當時,
當時,無意義
所以的值是1
(1)錯因:_________________________________.
(2)糾錯: _________________________________.
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【題目】一次演講比賽中,評委將從演講內容、演講能力、演講效果三方面為選手打分,各項成績均按百分制,進入決賽的兩名選手的單項成績如下表所示:
選手 | 演講內容 | 演講能力 | 演講效果 |
甲 | 85 | 95 | 95 |
乙 | 95 | 85 | 95 |
(1)如果認為這三方面的成績同等重要,從他們的成績看,誰能勝出?
(2)如果按演講內容占50%,演講能力占40%,演講效果占10%的比例計算甲、乙的平均成績,那么誰將勝出?
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【題目】已知,如圖A、B分別為數軸上的兩點,點A對應的數為-20,點B對應的數為120.
(1)請寫出線段AB的中點C對應的數.
(2)點P從點B出發(fā),以3個單位/秒的速度向左運動,同時點Q從點A出發(fā),以2個單位/秒的速度向右運動,當點P、Q重合時對應的數是多少?
(3)在(2)的條件下,P、Q兩點運動多長時間相距50個單位長度?
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