【題目】已知△ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形,邊AB在射線OM上,且OA=6,點(diǎn)D是射線OM上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)D不與點(diǎn)A重合時(shí),將△ACD繞點(diǎn)C逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得到△BCE,連接DE.
(1)如圖1,猜想:△CDE的形狀是 三角形.
(2)請(qǐng)證明(1)中的猜想
(3)設(shè)OD=m,
①當(dāng)6<m<10時(shí),△BDE的周長(zhǎng)是否存在最小值?若存在,求出△BDE周長(zhǎng)的最小值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
②是否存在m的值,使△DEB是直角三角形,若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出m的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)等邊;(2)詳見(jiàn)解析;(3)①2+4;②當(dāng)m=2或14時(shí),以D、E、B為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形.
【解析】
(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)猜想結(jié)論;
(2)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠DCE=60°,DC=EC,即可得到結(jié)論;
(3)①當(dāng)6<m<10時(shí),由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到BE=AD,于是得到C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到DE=CD,由垂線段最短得到當(dāng)CD⊥AB時(shí),△BDE的周長(zhǎng)最小,于是得到結(jié)論;
②存在,分四種情況討論:a)當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí),D,B,E不能構(gòu)成三角形;
b)當(dāng)0≤m<6時(shí),由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠ABE=60°,∠BDE<60°,求得∠BED=90°,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠DEB=60°,求得∠CEB=30°,求得OD=OA﹣DA=6﹣4=2=m;
c)當(dāng)6<m<10時(shí),此時(shí)不存在;
d)當(dāng)m>10時(shí),由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠DBE=60°,求得∠BDE>60°,于是得到m=14.
(1)等邊;
(2)∵將△ACD繞點(diǎn)C逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得到△BCE,∴∠DCE=60°,DC=EC,∴△CDE是等邊三角形.
(3)①存在,當(dāng)6<t<10時(shí),由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得:BE=AD,∴C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE,由(1)知,△CDE是等邊三角形,∴DE=CD,∴C△DBE=CD+4,由垂線段最短可知,當(dāng)CD⊥AB時(shí),△BDE的周長(zhǎng)最小,此時(shí),CD=2,∴△BDE的最小周長(zhǎng)=CD+4=2+4;
②存在,分四種情況討論:
a)∵當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí),D,B,E不能構(gòu)成三角形,∴當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí),不符合題意;
b)當(dāng)0≤m<6時(shí),由旋轉(zhuǎn)可知,∠ABE=60°,∠BDE<60°,∴∠BED=90°,由(1)可知,△CDE是等邊三角形,∴∠DEB=60°,∴∠CEB=30°.
∵∠CEB=∠CDA,∴∠CDA=30°.
∵∠CAB=60°,∴∠ACD=∠ADC=30°,∴DA=CA=4,∴OD=OA﹣DA=6﹣4=2,∴m=2;
c)當(dāng)6<m<10時(shí),由∠DBE=120°>90°,∴此時(shí)不存在;
d)當(dāng)m>10時(shí),由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知,∠DBE=60°,又由(1)知∠CDE=60°,∴∠BDE=∠CDE+∠BDC=60°+∠BDC,而∠BDC>0°,∴∠BDE>60°,∴只能∠BDE=90°,從而∠BCD=30°,∴BD=BC=4,∴OD=14,∴m=14.
綜上所述:當(dāng)m=2或14時(shí),以D、E、B為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形.
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【題目】如圖,已知△ABC,∠C=90°,按以下步驟:①分別以A.B為圓心,以大于AB的長(zhǎng)為半徑作弧,兩弧相交于兩點(diǎn)M、N;②作直線MN交BC于點(diǎn)D. 若AC=1.5,∠B=15°.則BD等于( )
A.1.5B.2C.2.5D.3
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【題目】如圖,四邊形ABCD是菱形,AB=2,∠ABC=30°,點(diǎn)E是射線DA上一動(dòng)點(diǎn),把△CDE沿CE折疊,其中點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D′,若CD′垂直于菱形ABCD的邊時(shí),則DE的長(zhǎng)為_____.
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【題目】向陽(yáng)中學(xué)校園內(nèi)有一條林萌道叫“勤學(xué)路”,道路兩邊有如圖所示的路燈(在鉛垂面內(nèi)的示意圖),燈柱BC的高為10米,燈柱BC與燈桿AB的夾角為120°.路燈采用錐形燈罩,在地面上的照射區(qū)域DE的長(zhǎng)為13.3米,從D、E兩處測(cè)得路燈A的仰角分別為α和45°,且tanα=6.求燈桿AB的長(zhǎng)度.
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【題目】若拋物線L:y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù)且abc≠0)與直線l都經(jīng)過(guò)y軸上的同一點(diǎn),且拋物線的頂點(diǎn)在直線l上,則稱拋物線L與直線l具有“一帶一路”關(guān)系,并且將直線1叫做拋物線L的“路線”,拋物線L叫做直線l的“帶線”
(1)若“路線”l的表達(dá)式為y=2x﹣4,它的“帶線”L的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為﹣1,求“帶線”L的表達(dá)式;
(2)如果拋物線y=2x2﹣4x+1與直線y=nx+1具有“一帶一路”關(guān)系,如圖,設(shè)拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A,與y軸交于點(diǎn)B,其頂點(diǎn)為C.
①求△ABC的面積;
②在y軸上是否存在一點(diǎn)P,使S△PBC=S△ABC,若存在,直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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【題目】小麗和小明上山游玩,小麗乘纜車,小明步行,兩人相約在山頂?shù)睦|車終點(diǎn)會(huì)合.已知小明行走到纜車終點(diǎn)的路程是纜車到山頂?shù)木路長(zhǎng)的2倍,小麗在小明出發(fā)后1小時(shí)才乘上纜車,纜車的平均速度為190 m/min.設(shè)小明出發(fā)x min后行走的路程為y m.圖中的折線表示小明在整個(gè)行走過(guò)程中y與x的函數(shù)關(guān)系.
⑴ 小明行走的總路程是 m,他途中休息了 min.
⑵ ①當(dāng)60≤x≤90時(shí),求y與x的函數(shù)關(guān)系式;
②當(dāng)小麗到達(dá)纜車終點(diǎn)時(shí),小明離纜車終點(diǎn)的路程是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB =AC,BD= BC,AD=DE=EB,則∠A的度數(shù)為( )
A.30°B.45°
C.60°D.36°
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【題目】如圖,AB⊥BC,射線CM⊥BC,且BC=5,AB=1,點(diǎn)P是線段BC (不與點(diǎn)B、C重合)上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作DP⊥AP交射線CM于點(diǎn)D,連結(jié)AD.
(1)如圖1,當(dāng)BP= 時(shí),△ADP是等腰直角三角形.(請(qǐng)直接寫(xiě)出答案)
(2)如圖2,若DP平分∠ADC,試猜測(cè)PB和PC的數(shù)量關(guān)系,并加以證明.
(3)若△PDC是等腰三角形,作點(diǎn)B關(guān)于AP的對(duì)稱點(diǎn)B′,連結(jié)B′D,請(qǐng)畫(huà)出圖形,并求線段B′D的長(zhǎng)度.(參考定理:若直角△ABC中,∠C是直角,則BC2+AC2=AB2)
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