Question

【題目】感知：如圖①，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝m，將邊AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線(xiàn)段BD，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥CB交CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，連接CD．

（1）求證：△ACB≌△BED；

（2）△BCD的面積為　 　（用含m的式子表示）．

拓展：如圖②，在一般的Rt△ABC，∠ACB＝90°，BC＝m，將邊AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線(xiàn)段BD，連接CD，用含m的式子表示△BCD的面積，并說(shuō)明理由．

應(yīng)用：如圖③，在等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝8，將邊AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線(xiàn)段BD，連接CD，則△BCD的面積為　 　；若BC＝m，則△BCD的面積為　 　（用含m的式子表示）．

Answer 1

【答案】感知：（1）詳見(jiàn)解析；（2）m2；拓展： m2，理由詳見(jiàn)解析；應(yīng)用：16， m2．

【解析】

感知：（1）由題意可得CA＝CB，∠A＝∠ABC＝45°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BA＝BD，∠ABD＝90°，可得∠DBE＝∠ABC，即可證△ACB≌△BED；

（2）由△ACB≌△BED，可得BC＝DE＝m，根據(jù)三角形面積求法可求△BCD的面積；

拓展：作DG⊥CB交CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于G，可證△ACB≌△BGD，可得BC＝DG＝m，根據(jù)三角形面積求法可求△BCD的面積；

應(yīng)用：過(guò)點(diǎn)A作AN⊥BC于N，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)M，由等腰三角形的性質(zhì)可以得出BN＝BC，由條件可以得出△AFB≌△BED就可以得出BN＝DM，由三角形的面積公式就可以得出結(jié)論．

感知：證明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，

∴CA＝CB＝m，∠A＝∠ABC＝45°，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，BA＝BD，∠ABD＝90°，

∴∠DBE＝45°，

在△ACB和△DEB中，

，

∴△ACB≌△BED（AAS）

（2）∵△ACB≌△BED

∴DE＝BC＝m

∴S△BCD＝BC×ED＝m2，

故答案為 m2，

拓展：作DG⊥CB交CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于G，

∵∠ABD＝90°，

∴∠ABC+∠DBG＝90°，又∠ABC+∠A＝90°，

∴∠A＝∠DBG，

在△ACB和△BGD中，

，

∴△ACB≌△BGD（AAS），

∴BC＝DG＝m

∴S△BCD＝BC×DG＝m2，

應(yīng)用：作AN⊥BC于N，DM⊥BC交CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于M，

∴∠ANB＝∠M＝90°，BN＝BC＝4．

∴∠NAB+∠ABN＝90°．

∵∠ABD＝90°，

∴∠ABN+∠DBM＝90°，

∴∠NAB＝∠MBD．

∵線(xiàn)段BD是由線(xiàn)段AB旋轉(zhuǎn)得到的，

∴AB＝BD．

在△AFB和△BED中，

，

∴△ANB≌△BMD（AAS），

∴BN＝DM＝BC＝4．

∴S△BCD＝BCDM＝×8×4＝16，

若BC＝m，則BN＝DM＝BC＝m，

∴S△BCD＝BCDM＝×m×m＝m2

故答案為16，m2．