【題目】如圖,在矩形OABC中,AO=10,AB=8,沿直線CD折疊矩形OABC的一邊BC,使點(diǎn)B落在OA邊上的點(diǎn)E處,分別以O(shè)C,OA所在的直線為x軸,y軸建立平面直角坐標(biāo)系,拋物線經(jīng)過O,D,C三點(diǎn).

(1)求AD的長(zhǎng)及拋物線的解析式;

(2)一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)E出發(fā),沿EC以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā),沿CO以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí),兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,當(dāng)t為何值時(shí),以P,Q,C為頂點(diǎn)的三角形與ADE相似?

(3)點(diǎn)N在拋物線對(duì)稱軸上,點(diǎn)M在拋物線上,是否存在這樣的點(diǎn)M與點(diǎn)N,使以M,N,C,E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M與點(diǎn)N的坐標(biāo)(不寫求解過程);若不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】(1);(2);(3)①, ; ②, ,

【解析】試題分析:(1)根據(jù)折疊圖形的軸對(duì)稱性,△CED、△CBD全等,首先在Rt△CEO中求出OE的長(zhǎng),進(jìn)而可得到AE的長(zhǎng);在Rt△AED中,AD=AB-BD、ED=BD,利用勾股定理可求出AD的長(zhǎng).進(jìn)一步能確定D點(diǎn)坐標(biāo),利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式;

(2)由于∠DEC=90°,首先能確定的是∠AED=∠OCE,若以P、Q、C為頂點(diǎn)的三角形與△ADE相似,那么∠QPC=90°或∠PQC=90°,然后在這兩種情況下,分別利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求出對(duì)應(yīng)的t的值;

(3)由于以M,N,C,E為頂點(diǎn)的四邊形,邊和對(duì)角線都沒明確指出,所以要分情況進(jìn)行討論:

①EC做平行四邊形的對(duì)角線,那么EC、MN必互相平分,由于EC的中點(diǎn)正好在拋物線對(duì)稱軸上,所以M點(diǎn)一定是拋物線的頂點(diǎn);

②EC做平行四邊形的邊,那么EC、MN平行且相等,首先設(shè)出點(diǎn)N的坐標(biāo),然后結(jié)合E、C的橫、縱坐標(biāo)差表示出M點(diǎn)坐標(biāo),再將點(diǎn)M代入拋物線的解析式中,即可確定M、N的坐標(biāo).

試題解析:(1)∵四邊形ABCO為矩形,

∴∠OAB=∠AOC=∠B=90°,AB=CO=8,AO=BC=10,

由題意,得△BDC≌△EDC,

∴∠B=∠DEC=90°,EC=BC=10,ED=BD,

由勾股定理易得EO=6,

∴AE=10﹣6=4,

設(shè)AD=x,則BD=ED=8﹣x,由勾股定理,得 ,

解得,x=3,∴AD=3,

∵拋物線過點(diǎn)D(3, 10),C(8, 0),O(0, 0)

,解得 ,

∴拋物線的解析式為: ;

(2)∵∠DEA+∠OEC=90°,∠OCE+∠OEC=90°,

∴∠DEA=∠OCE,

由(1)可得AD=3,AE=4,DE=5,

而CQ=t,EP=2t,∴PC=10﹣2t

當(dāng)∠PQC=∠DAE=90°,△ADE∽△QPC,

,即

解得,

當(dāng)∠QPC=∠DAE=90°,△ADE∽△PQC,

,即 , 解得,

∴當(dāng)時(shí),以P、Q、C為頂點(diǎn)的三角形與△ADE相似;

(3)假設(shè)存在符合條件的M、N點(diǎn),分兩種情況討論:

①EC為平行四邊形的對(duì)角線,由于拋物線的對(duì)稱軸經(jīng)過EC中點(diǎn),若四邊形MENC是平行四邊形,那么M點(diǎn)必為拋物線頂點(diǎn); 則: ;而平行四邊形的對(duì)角線互相平分,那么線段MN必被EC中點(diǎn)(4,3)平分,則;

②EC為平行四邊形的邊,則EC//MN,EC =MN,設(shè)N(4,m),

則M(4﹣8,m+6)或M(4+8,m﹣6);

將M(﹣4,m+6)代入拋物線的解析式中,得:m=﹣38,

此時(shí) N(4,﹣38)、M(﹣4,﹣32);

將M(12,m﹣6)代入拋物線的解析式中,得:m=﹣26,

此時(shí) N(4,﹣26)、M(12,﹣32);

綜上,存在符合條件的M、N點(diǎn),且它們的坐標(biāo)為:

, , ;

,

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)求此拋物線的解析式;

(2)直接寫出點(diǎn)C和點(diǎn)D的坐標(biāo);

(3)若點(diǎn)P在第一象限內(nèi)的拋物線上,且S△ABP=4S△COE,求P點(diǎn)坐標(biāo).

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