Question

【題目】如圖，四邊形ABCD的對角線AC⊥BD于點E，AB=BC，F為四邊形ABCD外一點，且∠FCA=90°，∠CBF=∠DCB．

（1）求證：四邊形DBFC是平行四邊形；

（2）如果BC平分∠DBF，∠CDB=45°，BD=2，求AC的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）AC=2．

【解析】整體

(1)證明四邊形DBCF的兩組對邊分別平行；(2)作CM⊥BF于F，△CFM是等腰直角三角形，求出CM的長即可得到AC的長.

解：(1)證明：∵AC⊥BD，∠FCA=90°，∠CBF=∠DCB．

∴BD∥CF，CD∥BF，

∴四邊形DBFC是平行四邊形；

(2)解：∵四邊形DBFC是平行四邊形，

∴CF=BD=2，∠F=∠CDB=45°，

∵AB=BC，AC⊥BD，∴AE=CE，

作CM⊥BF于F，

∵BC平分∠DBF，∴CE=CM，

∴△CFM是等腰直角三角形，

∴CM=CF=，∴AE=CE=，

∴AC=2．