Question

【題目】如圖，已知：梯形ABCD中，∠ABC＝90°，∠DAB＝45°，AB∥DC，DC＝3，AB＝5，點P在AB邊上，以點A為圓心AP為半徑作弧交邊DC于點E，射線EP于射線CB交于點F．

（1）若AP，求DE的長；

（2）聯(lián)結(jié)CP，若CP＝EP，求AP的長；

（3）線段CF上是否存在點G，使得△ADE與△FGE相似？若相似，求FG的值；若不相似，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）AP；（3）FG＝31．

【解析】

(1)如圖，過點A，作AH//BC，交CD的延長線于點H，在Rt△AHE中求出AE，即可求解；
(2)設(shè)：AP=x，利用△APE∽△PEC，得出PC2=CEAP，利用勾股定理得出PC2=PB2+BC2，即可求解；
(3)利用△ADE∽△FGE，得到3α=45°，進而求出相應線段的長度，再利相似比，即可求解．

解：（1）如圖1中，過點A，作AH∥BC，交CD的延長線于點H．

∵AB∥CD，

∴∠ABC+∠C＝180°，

∵∠ABC＝90°，

∴∠C＝∠ABC＝∠H＝90°，

∴四邊形AHCB是矩形，

∴AB＝CH＝5，∵CD＝3，

∴DH＝CH﹣CD＝2，

∵∠HAB＝90°，∠DAB＝45°，

∴∠HAD＝∠HDA＝45°

∴HD＝AH＝2，AE＝AP，

根據(jù)勾股定理得，HE3，則ED＝1；

（2）連接CP，設(shè)AP＝x．

∵AB∥CD，

∴∠EPA＝∠CEP，即等腰△APE、等腰△PEC兩個底角相等，

∴△APE∽△PEC，∴，

即：PE2＝AECE，

而EC＝2PB＝2（5﹣x），

即：PC2＝CEAP＝2（5﹣x）x，

而PC2＝PB2+BC2，即：PC2＝（5﹣x）2+22，

∴2（5﹣x）x＝（5﹣x）2+22，

解得：x（不合題意值已舍去），

即：AP；

（3）如圖3中，在線段CF上取一點G，連接EG．

設(shè)∠F＝α，則∠APE＝∠AEP＝∠BPF＝90°﹣α，

則：∠EAP＝180°﹣2∠APE＝2α，

∵△ADE∽△FGE，設(shè)∠DAE＝∠F＝α，

由∠DAB＝45°，可得3α＝45°，2α＝30°，

在Rt△ADH中，AH＝DH＝2，

在Rt△AHE中，∠HEA＝∠EAB＝2α＝30°，∠HAE＝60°，

∴HE＝AHtan∠HAE＝2，

∴DE＝HE﹣HD＝22，

EC＝HC﹣HE＝5﹣2，

∵△ADE∽△FGE，

∴∠ADC＝∠EGF＝135°，

則∠CEG＝45°，

∴EGEC＝52，

∴，

即：，

解得：FG＝31．