Question

【題目】如圖，二次函數(shù)的圖像與軸交于點、，與軸交于點.

（1）求二次函數(shù)的表達式；

（2）設(shè)上述拋物線的對稱軸與軸交于點，過點作⊥于， 為線段

上一點， 為軸負半軸上一點，以、、為頂點的三角形與相似；

滿足條件的點有且只有一個時，求的取值范圍；

②若滿足條件的點有且只有兩個，直接寫出的值.

Answer 1

【答案】（2） ；（2）① ；②1或

【解析】試題分析：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3），將C（0，3）代入求得a的值可得到拋物線的解析式；
（2）先求得點C的坐標，從而得到ED的長，然后再求得拋物線的對稱軸，從而得到CE的長，然后設(shè)PE=x，則PD=3-x，然后分為△CEP∽△QDP和△CEP∽△PDQ兩種情況列出比例式，從而得到m與x的函數(shù)關(guān)系，然后依據(jù)函數(shù)關(guān)系可確定出m的取值范圍，①依據(jù)符合條件的點P只有一個，然后找出僅能夠使得其中一個三角形的相似時，m的范圍即可；②找出能夠使得兩種情況都成立時，m的范圍即可．

試題解析：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3），
將C（0，3）代入得：3=-3a，解得a=-1，
∴拋物線的解析式為y=-x2+2x+3．
（2）∵x=-=1，
∴CE=1．
將x=0代入拋物線的解析式得：y=3，
∴點C（0，3）．
∴ED=3．
設(shè)EP=x，則（0＜x＜3）．
當△CEP∽△QDP時，則,即，

整理得：m=2-，
∴m隨x的增大而增大，
∴m＜1．
∵Q在x軸的負半軸上，
∴m＜0．
當△CEP∽△PDQ時， ,即，整理得：m=x2-3x+1，
∴當x=時，m有最小值，m的最小值=-．
又∵Q在x軸的負半軸上，
∴m＜0．
∴-≤m＜0．
①∵當m＜-時，有且只有△CEP∽△QDP一種情況，
∴當m＜-時，滿足條件的點P有且只有一個．
②當-≤m＜0時，存在△CEP∽△QDP或△CEP∽△PDQ兩種情況，
∴當-≤m＜0時，滿足條件的P點有且只有兩個．