Question

19．如圖，已知雙曲線y=$\frac{k}{x}$與直線y=-x+6相交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線與過(guò)點(diǎn)B作y軸的垂線相交于點(diǎn)C，若△ABC的面積為8，則k的值為5．

Answer 1

分析 根據(jù)雙曲線和直線的解析式，求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，繼而求出AC、BC的長(zhǎng)度，然后根據(jù)△ABC的面積為8，代入求解k值．

解答 解法一：
解：$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{k}{x}}\\{y=-x+6}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=3-\sqrt{9-k}}\\{{y}_{1}=3+\sqrt{9-k}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=3+\sqrt{9-k}}\\{{y}_{2}=3-\sqrt{9-k}}\end{array}\right.$，
即點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3-$\sqrt{9-k}$，3+$\sqrt{9-k}$），
點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3+$\sqrt{9-k}$，3-$\sqrt{9-k}$），
則AC=2$\sqrt{9-k}$，BC=2$\sqrt{9-k}$，
∵S_△ABC=8，
∴$\frac{1}{2}$AC•BC=8，
即2（9-k）=8，
解得：k=5．
解法二：
解：設(shè)點(diǎn)A（x₁，6-x₁），B（x₂，6-x₂）
∵雙曲線y=$\frac{k}{x}$與直線y=-x+6相交于A，B兩點(diǎn)，
∴方程$\frac{k}{x}$-（-x+6）=0有解，
即：x²-6x+k=0有2個(gè)不相同的實(shí)根，
∴x₁+x₂=6，x₁x₂=k，
∵AC⊥BC
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（x₁，6-x₂）
∴AC=x₂-x₁ BC=x₂-x₁
∵S_△ABC=8，
∴$\frac{1}{2}$AC•BC=8
∴$\frac{1}{2}$（x₂-x₁）²=8
整理得：（x_1⁺x₂）²-4x₁x₂=16，
∴36-4k=16
解得k=5，
故答案為：5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，解答本題的關(guān)鍵是把兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求出交點(diǎn)，然后根據(jù)三角形的面積公式求解．