Question

【題目】某電器商場銷售甲、乙兩種品牌空調(diào)，已知每臺乙種品牌空調(diào)的進價比每臺甲種品牌空調(diào)的進價高20％，用7200元購進的乙種品牌空調(diào)數(shù)量比用3000元購進的甲種品牌空調(diào)數(shù)量多2臺．

（1）求甲、乙兩種品牌空調(diào)的進貨價；

（2）該商場擬用不超過16000元購進甲、乙兩種品牌空調(diào)共10臺進行銷售，其中甲種品牌空調(diào)的售價為2500元／臺，乙種品牌空調(diào)的售價為3500元／臺．請您幫該商場設計一種進貨方案，使得在售完這10臺空調(diào)后獲利最大，并求出最大利潤．

Answer 1

【答案】（1）甲種品牌的進價為1500元，乙種品牌空調(diào)的進價為1800元；（2）當購進甲種品牌空調(diào)7臺，乙種品牌空調(diào)3臺時，售完后利潤最大，最大為12100元

【解析】

（1）設甲種品牌空調(diào)的進貨價為x元/臺，則乙種品牌空調(diào)的進貨價為1.2x元/臺，根據(jù)數(shù)量=總價÷單價可得出關于x的分式方程，解之并檢驗后即可得出結(jié)論；

（2）設購進甲種品牌空調(diào)a臺，所獲得的利潤為y元，則購進乙種品牌空調(diào)（10-a）臺，根據(jù)總價=單價×數(shù)量結(jié)合總價不超過16000 元，即可得出關于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范圍，再由總利潤=單臺利潤×購進數(shù)量即可得出y關于a的函數(shù)關系式，利用一次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題．

（1）由（1）設甲種品牌的進價為x元，則乙種品牌空調(diào)的進價為（1+20%）x元，

由題意，得 ，

解得x=1500，

經(jīng)檢驗，x=1500是原分式方程的解，

乙種品牌空調(diào)的進價為（1+20%）×1500=1800（元）.

答：甲種品牌的進價為1500元，乙種品牌空調(diào)的進價為1800元；

（2）設購進甲種品牌空調(diào)a臺，則購進乙種品牌空調(diào)（10-a）臺，

由題意，得1500a+1800（10-a）≤16000，

解得 ≤a，

設利潤為w，則w=（2500-1500）a+（3500-1800）（10-a）=-700a+17000，

因為-700<0，

則w隨a的增大而減少，

當a=7時，w最大，最大為12100元.

答：當購進甲種品牌空調(diào)7臺，乙種品牌空調(diào)3臺時，售完后利潤最大，最大為12100元.