Question

【題目】在如圖平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，、分別落在軸和軸上，是矩形的對角線. 將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)落在軸上，得到，與相交于點(diǎn)，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，交于點(diǎn).

（1）求的值和點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）連接，則圖中是否存在與相似的三角形？若存在，請把它們一一找出來，并選其中一種進(jìn)行證明；若不存在，請說明理由；

（3）在線段上存在這樣的點(diǎn)，使得是等腰三角形，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1），G；（2），， ，證明見解析；（3） 或或

【解析】

（1）證明△COF∽△AOB，則，求得：點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1，2），即可求解；

（2）△COF∽△BFG；△AOB∽△BFG；△ODE∽△BFG；△CBO∽△BFG．證△OAB∽△BFG：，即可求解．

（3）分GF=PF、PF=PG、GF=PG三種情況，分別求解即可．

（1）∵四邊形為矩形，點(diǎn)的坐標(biāo)為，

∴，

∵是旋轉(zhuǎn)得到的，即：，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，

∵的圖象經(jīng)過點(diǎn)，

∴，得，

∵點(diǎn)在上，

∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，

對于，當(dāng)，得，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；

（2）；； ；．

下面對進(jìn)行證明：

∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，

∴，

∵，

∴，

．

∴，．

∴，

∵，

∴．

（3）設(shè)點(diǎn)，而點(diǎn)、點(diǎn)，

則，，，

當(dāng)時(shí)，即，解得： （舍去負(fù)值）；

當(dāng)時(shí)，同理可得：；

當(dāng)時(shí)，同理可得： （舍去正值）；

綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．