Question

15．如圖，菱形ABCD中，∠BAD=60°，M是AB的中點(diǎn)，P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若PM+PB最小值是$\sqrt{3}$，則AB長(zhǎng)為（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 2.5
• D． 3

Answer 1

分析 先連接BD，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形且∠BAD=60°，所以△ABD是等邊三角形，由于菱形的對(duì)角線互相垂直平分，所以點(diǎn)D是點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)，AD=BD，連接MD，由等邊三角形的性質(zhì)可知DM⊥AB，再根據(jù)勾股定理即可求出AB的長(zhǎng)．

解答 解：如圖，∵四邊形ABCD是菱形，
∴B與D關(guān)于直線AC對(duì)稱，
∴連接DM交AC于E，則點(diǎn)E即為所求，
BP+PM=PD+PM=DM，
即DM就是PM+PB的最小值$\sqrt{3}$（根據(jù)的是兩點(diǎn)之間線段最短），
∵∠DAB=60°，
∴AD=AB=BD，
∵M(jìn)是AB的中點(diǎn)，
∴DM⊥AB，
∵PM+PB=$\sqrt{3}$，
∴DM=$\sqrt{3}$，
∴AB=AD=∴AB=AD=$\frac{DM}{sin60°}$=$\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是最短線路問題及菱形的性質(zhì)，由菱形的性質(zhì)得出點(diǎn)D是點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)是解答此題的關(guān)鍵．