Question

【題目】已知，拋物線y＝ax2﹣4ax+2a（a≠0）

（1）求拋物線的對稱軸；

（2）若拋物線經(jīng)過點A（m，y1），B（n，y2），其中﹣4＜m≤﹣3，2＜n≤3，請依據(jù)a的取值情況直接寫出y1與y2的大小關(guān)系；

（3）若矩形CDEF的頂點分別為C（1，2），D（1，﹣4），E（5，﹣4），F（5，2），若該拋物線與矩形的邊有且只有兩個公共點（包括矩形的頂點），求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）x＝2；（2）當(dāng)a＞0時，y1＞y2；當(dāng)a＜0時，y1＜y2；（3）a＜﹣2或﹣1＜a＜0或0＜a＜2或a＞4．

【解析】

（1）根據(jù)拋物線的對稱軸公式求得即可；

（2）根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)拋物線的開口方向和增減性，判斷點A、B離對稱軸的遠近，得出相應(yīng)的函數(shù)值的大小關(guān)系，分為開口向上和開口向下兩種情況進行分析解答；

（3）分兩種情況，即a＞0和a＜0兩種情況，根據(jù)拋物線的對稱軸x＝2，與x軸的交點（2﹣，0）和（2+，0），畫出相應(yīng)圖形，分情況解答即可．

解：（1）對稱軸為x＝﹣＝2，

答：拋物線的對稱軸為直線x＝2；

（2）拋物線y＝ax2﹣4ax+2a＝a（x﹣2）2﹣2a，

因此，拋物線的對稱軸為x＝2，頂點坐標為（2，﹣2a），

①當(dāng)a＞0時，拋物線開口向上，頂點在第四象限，

∵﹣4＜m≤﹣3，2＜n≤3，

∴根據(jù)橫坐標離對稱軸x＝2的遠近程度可得，y1＞y2；

②當(dāng)a＜0時，拋物線開口向下，頂點在第一象限，

∵﹣4＜m≤﹣3，2＜n≤3，

∴根據(jù)橫坐標離對稱軸x＝2的遠近程度可得，y1＜y2；

故有，當(dāng)a＞0時，y1＞y2；當(dāng)a＜0時，y1＜y2；

（3）當(dāng)y＝0時，即ax2﹣4ax+2a＝0，

解得x1＝2+，x2＝2﹣，

∴拋物線與x軸的交點坐標為A（2﹣，0），B（2+，0）

①當(dāng)a＜0時，如圖1，頂點M（2，﹣2a）在第一象限，

Ⅰ）當(dāng)頂點M在CD下方時，有0＜﹣2a＜2，解得﹣1＜a＜0，

Ⅱ）當(dāng)頂點M在CD上方時，必須是拋物線左側(cè)與CD的交點在點C的上方，

當(dāng)拋物線過點C（1，2）時，a﹣4a+2a＝2，解得，a＝﹣2，此時M（2，4），

∴﹣2a＞4，

解得a＜﹣2；

②當(dāng)a＞0時，如圖2，頂點M（2，﹣2a）在第四象限，

Ⅰ）當(dāng)頂點M在DE上方時，有﹣4＜﹣2a＜0，

解得0＜a＜2，

Ⅱ）當(dāng)頂點M在DE下方時，必須是拋物線左側(cè)與CD的交點在點D的下方，

當(dāng)拋物線過點D（1，﹣4）時，a﹣4a+2a＝﹣4，

解得a＝4，此時M（2，﹣8），

∴﹣2a＜﹣8，

解得a＞4；

綜上所述，當(dāng)拋物線與矩形的邊有且只有兩個公共點（包括矩形的頂點）時，a的取值范圍為a＜﹣2或﹣1＜a＜0或0＜a＜2或a＞4．