Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，我們定義直線y=ax-a為拋物線y=ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)，a≠0）的“衍生直線”；有一個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上，另有一個(gè)頂點(diǎn)在y軸上的三角形為其“衍生三角形”．已知拋物線與其“衍生直線”交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C．

（1）填空：該拋物線的“衍生直線”的解析式為 ，點(diǎn)A的坐標(biāo)為 ，點(diǎn)B的坐標(biāo)為 ；

（2）如圖，點(diǎn)M為線段CB上一動(dòng)點(diǎn)，將△ACM以AM所在直線為對(duì)稱軸翻折，點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)為N，若△AMN為該拋物線的“衍生三角形”，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；

（3）當(dāng)點(diǎn)E在拋物線的對(duì)稱軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，在該拋物線的“衍生直線”上，是否存在點(diǎn)F，使得以點(diǎn)A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)E、F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（-2，）；（1,0）；

（2）N點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，），（0，）；

（3）E（-1，-）、F（0，）或E（-1，），F（-4，）

【解析】

（1）由拋物線的“衍生直線”知道二次函數(shù)解析式的a即可；（2）過(guò)A作AD⊥y軸于點(diǎn)D，則可知AN=AC，結(jié)合A點(diǎn)坐標(biāo)，則可求出ON的長(zhǎng)，可求出N點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）分別討論當(dāng)AC為平行四邊形的邊時(shí)，當(dāng)AC為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，求出滿足條件的E、F坐標(biāo)即可

（1）∵，a=，則拋物線的“衍生直線”的解析式為；

聯(lián)立兩解析式求交點(diǎn)，解得或，

∴A（-2，），B（1,0）；

（2）如圖1，過(guò)A作AD⊥y軸于點(diǎn)D，

在中，令y=0可求得x= -3或x=1，

∴C（-3,0），且A（-2，），

∴AC=

由翻折的性質(zhì)可知AN=AC=，

∵△AMN為該拋物線的“衍生三角形”，

∴N在y軸上，且AD=2，

在Rt△AND中，由勾股定理可得

DN=，

∵OD=，

∴ON=或ON=，

∴N點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，），（0，）；

（3）①當(dāng)AC為平行四邊形的邊時(shí)，如圖2 ，過(guò)F作對(duì)稱軸的垂線FH，過(guò)A作AK⊥x軸于點(diǎn)K，則有AC∥EF且AC=EF，

∴∠ ACK=∠ EFH，

在△ ACK和△ EFH中

∴△ ACK≌△ EFH，

∴FH=CK=1，HE=AK=，

∵拋物線的對(duì)稱軸為x=-1，

∴ F點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0或-2，

∵點(diǎn)F在直線AB上，

∴當(dāng)F點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0時(shí)，則F（0，），此時(shí)點(diǎn)E在直線AB下方，

∴E到y軸的距離為EH-OF=-=，即E的縱坐標(biāo)為-，

∴ E（-1，-）；

當(dāng)F點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-2時(shí)，則F與A重合，不合題意，舍去；

②當(dāng)AC為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，

∵ C（-3,0），且A（-2，），

∴線段AC的中點(diǎn)坐標(biāo)為（-2.5， ），

設(shè)E（-1，t），F（x，y），

則x-1=2×（-2.5），y+t=，

∴x= -4，y=-t，

-t=-×（-4）+，解得t=，

∴E（-1，），F（-4，）；

綜上可知存在滿足條件的點(diǎn)F，此時(shí)E（-1，-）、（0，）或E（-1，），F（-4，）