Question

9．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，E為CD的中點，AD+BC=AB．則：
（1）AE、BE分別平分∠DAB、∠ABC嗎？為什么？
（2）AE⊥BE嗎？為什么？

Answer 1

分析 （1）AE、BE分別平分∠DAB、∠ABC．延長AE、BC交于點F，先證明△ADE≌△FCE，再證明△ABF是等腰三角形，利用三線合一即可解決問題．
（2）利用三線合一即可解決．

解答 （1）解：AE、BE分別平分∠DAB、∠ABC．
理由：延長AE、BC交于點F．
∵AD∥BF，
∴∠D=∠ECF，
在△ADE和△FCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠ECF}\\{DE=EC}\\{∠AED=∠CEF}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△FCE，
∴AD=CF，∠DAE=∠F，AE=EF，
∵AD+BC=AB，
∴BC+CF=BC+AD=BF=AB，
∵AB=BF，AE=EF，
∴BE平分∠ABF，∠BAF=∠BFA=∠DAE，
∴EA平分∠DAB．
（2）結論：BE⊥AE．
證明：由（1）可知：BA=BF，AE=EF，
∴BE⊥AF（三線合一），
即BE⊥AE．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質、等腰三角形的性質、角平分線的定義等知識，解題的關鍵是添加輔助線構造全等三角形，記住這種輔助線的添加方法，屬于中考�？碱}型．