Question

17．?dāng)?shù)學(xué)活動(dòng)課上，小君在平面直角坐標(biāo)系中對(duì)二次函數(shù)圖象的平移進(jìn)行了研究．
圖①是二次函數(shù)y=（x-a）²+$\frac{a}{3}$（a為常數(shù)）當(dāng)a=-1、0、1、2時(shí)的圖象．當(dāng)a取不同值時(shí)，其圖象構(gòu)成一個(gè)“拋物線簇”．小君發(fā)現(xiàn)這些二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)竟然在同一條直線上！
（1）小君在圖①中發(fā)現(xiàn)的“拋物線簇”的頂點(diǎn)所在直線的函數(shù)表達(dá)式為y=$\frac{1}{3}$x；
（2）如圖②，當(dāng)a=0時(shí)，二次函數(shù)圖象上有一點(diǎn)P（2，4）．將此二次函數(shù)圖象沿著（1）中發(fā)現(xiàn)的直線平移，記二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)O與點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為O₁、P₁．若點(diǎn)P₁到x軸的距離為5，求平移后二次函數(shù)圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意得出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法即可求得；
（2）根據(jù)平移的規(guī)律得出點(diǎn)O₁的坐標(biāo)為 （ 3，1）或 （-27，-9），從而求得解析式．

解答 解：（1）∵當(dāng)a=-1時(shí)，拋物線的頂點(diǎn)為（-1，-$\frac{1}{3}$），當(dāng)a=0時(shí)，拋物線的頂點(diǎn)為（0，0），
∴設(shè)直線為y=kx，
代入（-1，-$\frac{1}{3}$）得，-$\frac{1}{3}$=-k，
解得k=$\frac{1}{3}$，
∴“拋物線簇”的頂點(diǎn)所在直線的函數(shù)表達(dá)式為y=$\frac{1}{3}$x，
故答案為y=$\frac{1}{3}$x．
（2）由題意得：點(diǎn)P₁的縱坐標(biāo)為5或-5，
∴拋物線沿著直線向上平移了1個(gè)單位或向下平移了9個(gè)單位，
∴此時(shí)點(diǎn)O₁的縱坐標(biāo)為1或-9，
代入直線y=$\frac{1}{3}$x求得橫坐標(biāo)為3或-27，
∴點(diǎn)O₁的坐標(biāo)為 （ 3，1）或 （-27，-9），
∴平移后的二次函數(shù)的表達(dá)式為y=（x-3）²+1或y=（x+27）²-9．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的圖象與幾何變換，求得平移后O₁的頂點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．