Question

7．如圖，在矩形OABC中，OA=5，AB=4，點D為邊AB上一點，將△BCD沿直線CD折疊，使點B恰好落在OA邊上的點E處，分別以OC、OA所在的直線為x軸，y軸建立平面直角坐標系．
（1）求AE的長；
（2）求經(jīng)過O、D、C三點的拋物線的解析式；
（3）若點N在（2）中的拋物線的對稱軸上，點M在拋物線上是否存在這樣的點M與點N，使得以M，N，C，E為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出M點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)翻折的性質，可得CE與CB的關系，DE與BD的關系，根據(jù)勾股定理，OE的長，根據(jù)線段的和差，可得答案；
（2）根據(jù)勾股定理，可得m的值，可得D點坐標，根據(jù)待定系數(shù)法，可得答案；
（3）①以EN為對角線，根據(jù)對角線互相平分，可得CM的中點與EN的中點重合，根據(jù)中點坐標公式，可得m的值，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應關系，可得答案；
②當EM為對角線，根據(jù)對角線互相平分，可得CN的中點與EM的中點重合，根據(jù)中點坐標公式，可得m的值，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應關系，可得答案；
③當CE為對角線，根據(jù)對角線互相平分，可得CE的中點與MN的中點重合，根據(jù)中點坐標公式，可得m的值，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應關系，可得答案．

解答 解：（1）∵CE=CB=OA=5，CO=AB=4，
∴在Rt△COE中，OE=$\sqrt{C{E}^{2}-C{O}^{2}}$=3，
∵OE=3，
∴AE=5-3=2，
（2）在Rt△ADE中，設AD=m，則DE=BD=4-m，由勾股定理，得
AD²+AE²=DE²，
即m²+2²=（4-m）²，
解得m=$\frac{3}{2}$，
∴D（-$\frac{3}{2}$，-5），
∵C（-4，0），O（0，0），
∴設過O、D、C三點的拋物線為y=ax（x+4），
∴-5=-$\frac{3}{2}$a（-$\frac{3}{2}$+4），
解得a=$\frac{4}{3}$，
∴拋物線解析式為y=$\frac{4}{3}$x（x+4）=$\frac{4}{3}$x²+$\frac{16}{3}$x； 
（3）∵拋物線的對稱為直線x=-2，
∴設N（-2，n），
又由題意可知C（-4，0），E（0，-3），設M（m，y），
①當EN為對角線，即四邊形ECNM是平行四邊形時，如圖1，
，
則線段EN的中點
橫坐標為$\frac{0+（-2）}{2}$=-1，線段CM中點橫坐標為$\frac{m+（-4）}{2}$，
∵EN，CM互相平分，
∴$\frac{m+（-4）}{2}$=-1，解得m=2，
又M點在拋物線上，
∴y=$\frac{4}{3}$×2²+$\frac{16}{3}$×2=16
∴M（2，16）；     
②當EM為對角線，即四邊形ECMN是平行四邊形時，如圖2，
，
則線段EM的中點，
橫坐標為$\frac{m+0}{2}$，線段CN中點橫坐標為$\frac{（-2）+（-4）}{2}$=-3，
∵EN，CM互相平分，
∴$\frac{m}{2}$=-3，解得m=-6，
又∵M點在拋物線上，
∴y=$\frac{4}{3}$×（-6）²+$\frac{16}{3}$×（-6）=16，
∴M（-6，16）；
③當CE為對角線，即四邊形EMCN是平行四邊形時，如圖3，
，
m+（-2）=-5+0，
解得m=-3，
當m=-3時，y=$\frac{4}{3}$×（-3）²+$\frac{16}{3}$×（-3）=-4，
即M（-3，-4）．
綜上可知，存在滿足條件的點M，其坐標為（2，16）或（-6，16）或（-3，-4）．

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用翻折的性質得出CE的長是解題關鍵；利用勾股定理得出D點坐標是解題關鍵；利用平行四邊形的對角線互相平分得出m的值是解題關鍵，要分類討論，以防遺漏．