Question

8．如圖，拋物線y=ax²-2ax-4交x軸的正半軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，且OA=OB．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，且∠PMQ=45°，∠PMQ在AB的同側(cè)，以點(diǎn)M為旋轉(zhuǎn)中心將∠PMQ旋轉(zhuǎn)，MP交y軸于點(diǎn)C，MQ交x軸于點(diǎn)D．設(shè)AD=m（m＞0），BC=n，求n與m之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)∠PMQ的一邊恰好經(jīng)過(guò)該拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，直接寫出∠PMQ的另一邊與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線的解析式可得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)條件可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后運(yùn)用待定系數(shù)法就可解決問(wèn)題；
（2）易得△AOB是等腰直角三角形，從而可得∠OAB=∠OBA=45°，AB=4$\sqrt{2}$，即可得到AM=BM=2$\sqrt{2}$，結(jié)合條件∠CMD=45°可推出△ADM∽△BMC，然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)就可解決問(wèn)題；
（3）設(shè)拋物線y=$\frac{1}{2}$x²-x-4與x軸另一個(gè)交點(diǎn)為E，只需令y=0，即可得到點(diǎn)E的坐標(biāo)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．①當(dāng)MP經(jīng)過(guò)點(diǎn)E時(shí)，運(yùn)用待定系數(shù)法可求出直線PM的解析式，即可得到點(diǎn)C的坐標(biāo)，從而可求出n的值，再利用n與m的關(guān)系可求出m，就可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；②當(dāng)MQ經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-2，0）時(shí)，同理可求出MP與x軸交點(diǎn)．

解答 解：（1）由拋物線y=ax²-2ax-4，
得B（0，-4），OB=4．
∵OA=OB=4，且點(diǎn)A在x軸正半軸上，
∴A（4，0）．
將A（4，0）代入y=ax²-2ax-4，得
16a-8a-4=0，
解得a=$\frac{1}{2}$，
∴拋物線的解析式為y=$\frac{1}{2}$x²-x-4；

（2）∵OA=OB=4，∠AOB=90°，
∴∠OAB=∠OBA=45°，AB=4$\sqrt{2}$，
∴∠ADM+∠AMD=135°，AM=BM=2$\sqrt{2}$．
∵∠CMD=45°，
∴∠AMD+∠BMC=135°，
∴∠ADM=∠BMC，
∴△ADM∽△BMC，
∴$\frac{BC}{AM}$=$\frac{BM}{AD}$．
∵AD=m，BC=n，
∴$\frac{n}{2\sqrt{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{m}$，
∴n=$\frac{8}{m}$，
∴n與m之間的函數(shù)關(guān)系式為n=$\frac{8}{m}$；

（3）設(shè)拋物線y=$\frac{1}{2}$x²-x-4與x軸另一個(gè)交點(diǎn)為E，
令y=0，得$\frac{1}{2}$x²-x-4=0，
解得x₁=4，x₂=-2，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-2，0）．
∵A（4，0），B（0，-4），M為AB的中點(diǎn)，
∴M的坐標(biāo)為（2，-2）．
①當(dāng)MP經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-2，0）時(shí)，
設(shè)直線PM的解析式為y=mx+n，
則有$\left\{\begin{array}{l}{-2m+n=0}\\{2m+n=-2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{1}{2}}\\{n=-1}\end{array}\right.$，
∴直線PM的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x-1．
當(dāng)x=0時(shí)，y=-1，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-1），
∴n=BC=-1-（-4）=3，
∴m=$\frac{8}{3}$，即AD=$\frac{8}{3}$，
∴OD=4-$\frac{8}{3}$=$\frac{4}{3}$，
∴MQ與x軸交點(diǎn)為（$\frac{4}{3}$，0）；
②當(dāng)MQ經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-2，0）時(shí)，
同理可得：MP與x軸交點(diǎn)為（8，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求直線與拋物線的解析式、直線與拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、等腰直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、中點(diǎn)坐標(biāo)公式等知識(shí)，證到△ADM∽△BMC是解決第（2）小題的關(guān)鍵，運(yùn)用（2）中的結(jié)論是解決第（3）小題的關(guān)鍵．