Question

5．已知，如圖1，直線l與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k＞0）位于第一象限的圖象相交于A、B兩點，并與y軸、x軸分別交于E、F．

（1）試判斷AE與BF的數(shù)量關(guān)系并說明理由．
（2）如圖2，若將直線l繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，使其與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的另一支圖象相交，設(shè)交點為B．試判斷AE與BF的數(shù)量關(guān)系是否依然成立？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）作AM⊥y軸于M，BN⊥x軸于N，連接MN、OA、OB、BM、AN，由AM∥x軸，得到S_△AMN=S_△AMO=$\frac{k}{2}$，同理，S_△BMN=S_△BNO=$\frac{k}{2}$，于是得到S_△AMN=S_△BMN，推出A、B兩點到MN的距離相等，且A、B位于MN同側(cè)，故AB∥MN，得到四邊形AMNF與BNME均為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AM=FN，EM=BN．根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）作AM⊥y軸于M，BN⊥x軸于N，連接MN、OA、OB、BM、AN，由AM∥x軸，得到S_△AMN=S_△AMO=$\frac{k}{2}$，同理，S_△BMN=S_△BNO=$\frac{k}{2}$，于是得到S_△AMN=S_△BMN，推出A、B兩點到MN的距離相等，且A、B位于MN同側(cè)，故AB∥MN，得到四邊形AMNF與BNME均為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AM=FN，EM=BN．根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

解答 解：（1）AE=BF，
理由如下：作AM⊥y軸于M，BN⊥x軸于N，連接MN、OA、OB、BM、AN，
∵AM∥x軸，
∴S_△AMN=S_△AMO=$\frac{k}{2}$，
同理，S_△BMN=S_△BNO=$\frac{k}{2}$，
∴S_△AMN=S_△BMN，
即A、B兩點到MN的距離相等，且A、B位于MN同側(cè)，故AB∥MN，
∴四邊形AMNF與BNME均為平行四邊形，
∴AM=FN，EM=BN．
又∵∠AME=∠BNF=90°，
在△EMA與△BNF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AM=FN}\\{∠AME=∠BNF}\\{EM=BN}\end{array}\right.$，
∴△EMA≌△BNF，
∴AE=BF；

（2）結(jié)論依然成立，AE=BF，
理由：作AM⊥y軸于M，BN⊥x軸于N，連接MN、OA、OB、BM、AN，
∵AM∥x軸，
∴S_△AMN=S_△AMO=$\frac{k}{2}$，
同理，S_△BMN=S_△BNO=$\frac{k}{2}$，
∴S_△AMN=S_△BMN，
即A、B兩點到MN的距離相等，且A、B位于MN同側(cè)，故AB∥MN，
∴四邊形AMNF與BNME均為平行四邊形，
∴AM=FN，EM=BN．
又∵∠AME=∠BNF=90°，
在△EMA與△BNF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AM=FN}\\{∠AME=∠BNF}\\{EM=BN}\end{array}\right.$，
∴△EMA≌△BNF，
∴AE=BF．

點評 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形面積的計算，平行四邊形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．