Question

16．在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，∠BCD=120°，現(xiàn)將一個(gè)30°角的頂點(diǎn)落在點(diǎn)A處．
（1）如圖①，當(dāng)該角的兩邊分別與BC、CD邊相交于E、F時(shí)．求證：EF=BE+DF；
（2）現(xiàn)在將該角繞點(diǎn)A進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，其兩邊分別與BC、CD邊的延長線相交于點(diǎn)F，那么（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，說明理由；若不成立，試探究線段BE與DF之間的等量關(guān)系，并加以證明．（利用圖②進(jìn)行探索）

Answer 1

分析 （1）延長CB到H點(diǎn)，使BH=DF，連接AH，先證△ABH≌△ADF，再證△HAE≌△FAE即可解決問題；
（2）如圖②，在BC上截取BH=DF，證得△ABH≌△ADF，然后證得△HAE≌△FAE，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）如圖①，
延長CB到H點(diǎn)，使BH=DF，連接AH，
∵∠B=∠D=90°，∠BCD=120°，
∴∠D+∠B=180°，
∵∠ABE+∠ABH=180°，
∴∠ABH=∠D，
∵AD=AB，BH=DF，
∴在△ABH和△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BH=DF}\\{∠ABH=∠D}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABH≌△ADF（SAS），
∴AH=AF，∠HAB=∠FAD，
∵∠DAB=60°，∠FAE=30°，
∴∠FAD+∠BAE=30°，
∴∠BAE+∠HAB=30°，即∠HAE=30°，
在△HAE和△EAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AH=AF}\\{∠HAE=∠EAF}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△HAE≌△FAE（SAS），
∴HE=EF，
∵HE=HB+BE=DF+BE，
∴EF=BE+DF；

（2）（1）中的結(jié)論不成立，
如圖②，在BC上截取BH=DF，
在△ABH與△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠B=∠ADF=90°}\\{BH=DF}\end{array}\right.$，
∴△ABH≌△ADF，
∴∠BAH=∠DAF，AH=AF，
∴∠EAF=30°，
∴∠BAH+∠EAD=30°，
∵∠B=∠D=90°，∠BCD=120°，
∴∠BAD=60°，
∴∠HAE=30°，
在△HAE與△FAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AH=AF}\\{∠HAE=∠FAE}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△HAE≌△FAE，
∴HE=EF，
∵BE=BH+HE，
∴BE=DF+EF．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵在于正確地作出輔助線，證明相關(guān)的三角形全等．