【題目】在平面直角坐標系中,O為坐標原點,過二次函數y=﹣x2+4x圖象上的點A(3,3)作x軸的垂線交x軸于點B.
(1)如圖1,P為線段OA上方拋物線上的一點,在x軸上取點C(1,0),點M、N為y軸上的兩個動點,點M在點N的上方且MN=1.連接AC,當四邊形PACO的面積最大時,求PM+MNNO的最小值.
(2)如圖2,點Q(3,1)在線段AB上,作射線CQ,將△AQC沿直線AB翻折,C點的對應點為C',將△AQC'沿射線CQ平移3個單位得△A'Q'C″,在射線CQ上取一點M,使得以A'、M、C″為頂點的三角形是等腰三角形,求M點的坐標.
【答案】(1)最小值為;(2)點M坐標為(7,3),(,),(,),(13,6),(10,)
【解析】
(1)把四邊形PACO沿OA分成△OAP與△OAC,由于△OAC三邊確定,面積為定值,故△OAP面積最大時四邊形面積也最大.過點P作x軸垂線交OA于D,設點P橫坐標為t,則能用t表示PD的長,進而得到△OAP關于t的二次函數關系式,用公式法可求得t時△OAP面積最大,即求得此時點P坐標.把點P向下平移1個單位得P',易證四邊形MNP'P是平行四邊形,所以PM=P'N.過點O作經過第二、四象限的直線l,并使直線l與x軸夾角為60°,過點N作NG⊥直線l于點G,則由30°角所對直角邊等于斜邊一半可知NGNO.所以PM+MNNO可轉化為P'N+NG+1,易得當點P'、N、G在同一直線上最小.把PD延長交直線l于點F,構造特殊Rt△P'FG和Rt△OEF,利用點P坐標和30°、60°的三角函數即可求得P'G的長.
(2)由點B、C、Q的坐標求CQ的長和點C'坐標;過點Q'作x軸的垂線段Q'H,易證△CBQ∽△CHQ',故有,求得CH、HQ'的長即求得點Q'坐標,進而得到向右向上平移的距離,求得點A'、C'的坐標.求直線CQ解析式,設CQ上的點M橫坐標為m,用兩點間距離公式可得用m表示A'M和C'M的長.因為△A'MC'是等腰三角形,分三種情況討論,得到關于m的方程,求解即求得相應的m的值,進而得點M坐標.
(1)如圖1,過點O作直線l,使直線l經過第二、四象限且與x軸夾角為60°;
過點P作PF⊥x軸于點E,交OA于點D,交直線l于點F;在PF上截取PP'=1;過點N作NG⊥直線l于點G
∵A(3,3),AB⊥x軸于點B
∴直線OA解析式為y=x,OB=AB=3
∵C(1,0)
∴S△AOCOCAB1×3,是定值
設P(t,﹣t2+4t)(0<t<3)
∴D(t,t)
∴PD=﹣t2+4t﹣t=﹣t2+3t
∴S△OAP=S△OPD+S△APDPDOEPDBEPDOB(t2﹣3t)
∴t時,S△OAP最大
此時,S四邊形PACO=S△AOC+S△OAP最大
yP=﹣()2+3
∴P(,)
∴P'E=PE﹣PP'1,即P'(,)
∵點M、N在y軸上且MN=1
∴PP'=MN,PP'∥MN
∴四邊形MNP'P是平行四邊形
∴PM=P'N
∵∠NGO=90°,∠NOG=90°﹣60°=30°
∴Rt△ONG中,NGNO
∴PM+MNNO=P'N+NG+1
∴當點P'、N、G在同一直線上,即P'G⊥直線l時,PM+MNNO=P'G+1最小
∵OE,∠EOF=60°,∠OEF=90°
∴Rt△OEF中,∠OFE=30°,tan∠EOF
∴EFOE
∴P'F=P'E+EF
∴Rt△P'GF中,P'GP'F
∴P'G+11
∴PM+MNNO的最小值為
(2)延長A'Q'交x軸于點H
∵C(1,0),Q(3,1),QB⊥x軸于點B
∴CB=2,BQ=1
∴CQ
∵△AQC沿直線AB翻折得△AQC'
∴B(3,0)是CC'的中點
∴C'(5,0)
∵平移距離QQ'=3
∴CQ'=CQ+QQ'=4
∵QB∥Q'H
∴△CBQ∽△CHQ'
∴
∴CH=4CB=8,yQ'=HQ'=4BQ=4
∴xQ'=OC+CH=1+8=9
∴Q'(9,4)
∴點Q(3,1)向右平移6個單位,向上平移3個單位得到點Q'(9,4)
∴A'(9,6),C'(11,3)
∴A'C'
設直線CQ解析式為y=kx+b
∴ 解得:
∴直線CQ:yx
設射線CQ上的點M(m,m)(m>1)
∴A'M2=(9﹣m)2+(6m)2=(9﹣m)2+(m)2
C'M2=(11﹣m)2+(3m)2=(11﹣m)2+(m)2
∵△A'MC'是等腰三角形
①若A'M=A'C',則(9﹣m)2+(m)2=13
解得:m1=7,m2
∴M(7,3)或(,)
②若C'M=A'C',則(11﹣m)2+(m)2=13
解得:m1,m2=13
∴M(,)或(13,6)
③若A'M=C'M,則(9﹣m)2+(m)2=(11﹣m)2+(m)2
解得:m=10
∴M(10,)
綜上所述,點M坐標為(7,3),(,),(,),(13,6),(10,).
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】平面直角坐標系中,點O是坐標原點,拋物線y=ax2+x+c與x軸交于A、B兩點,點B的坐標為(4,0),與y軸交于點C,直線y=kx+2經過A、C兩點.
(1)如圖1,求a、c的值;
(2)如圖2,點P為拋物線y=ax2+x+c在第一象限的圖象上一點,連接AP、CP,設點P的橫坐標為t,△ACP的面積為S,求S與t的函數解析式,并直接寫出自變量t的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,點D為線段AC上一點,直線OD與直線BC交于點E,點F是直線OD上一點,連接BP、BF、PF、PD,BF=BP,∠FBP=90°,若OE=,求直線PD的解析式.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,點A(1, 0)、B(4,0)、M(5,3).動點P從A點出發(fā),沿x軸以每秒1個單位的速度向右移動,過點P的直線l:y= -x+b也隨之移動.設移動時間為t秒.
(1)當t=1時,求直線l的解析式.
(2)若直線l與線段BM有公共點,求t的取值范圍.
(3)當點M關于直線l的對稱點落在坐標軸上時,求t的值.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】中考將近,同學們需要花更多的時間來進行自我反思和總結,消化白天的學習內容,提高學習效率.因此,每個班都在積極地進行自我調整.我校A班和B班的同學也積極響應號召,調查了本班的自習情況以供老師參考.
A班同學在班級抽樣調查中,調查了十名同學的學習情況,將這十名同學在一周內每天用于自主復習的總時間四舍五入后,分別記錄如下:(單位:分)
18 11 22 25 25 18 27 25 22 27
B班的同學采取的普查方式,讓每位同學自己寫出平均每天的自主復習時間,將數據收集整理后得到以下數據:
平均數 | 中位數 | 眾數 | 極差 | 方差 |
22 | 23 | 30 | 30 | 59.7 |
B班的同學還將自主復習時間分為四大類:第一類為時間小于10分鐘以下;第二類為時間大于或等于10分鐘且小于20分鐘;第三類為時間大于或等于20分鐘且小于30分鐘;第四類為時間大于或等于30分鐘,并得到如下的扇形圖.
(1)在扇形圖中,第一類所對的圓心角度數為 .
(2)寫出A班被調查同學的以下特征數.
平均數 | 中位數 | 眾數 | 極差 | 方差 |
22 | 25 | 16 |
(3)從上面的數據,我們可以得到 班的自主復習情況要好一些.其理由為(至少兩條): .
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】鄭州大學(ZhengzhouUniversity),簡稱“鄭大”,是中華人民共和國教育部與河南省人民政府共建的全國重點大學,首批“雙一流”世界一流大學、“211工程”.某學校興趣小組3人來到鄭州大學門口進行測量,如圖,在大樓AC的正前方有一個舞臺,舞臺前的斜坡DE=4米,坡角∠DEB=41°,小紅在斜坡下的點E處測得樓頂A的仰角為60°,在斜坡上的點D處測得樓頂A的仰角為45°,其中點B,C,E在同一直線上求大樓AC的高度.(結果精確到整數.參考數據:≈1.73,sin41°≈0.6,cos41°≈0.75,tan41°≈0.87)
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】為培養(yǎng)學生數學學習興趣,某校七年級準備開設“神奇魔方”、“魅力數獨”、“數學故事”、“趣題巧解”四門選修課(每位學生必須且只選其中一門).
(1)學校對七年級部分學生進行選課調查,得到如圖所示的統計圖.根據統計圖,請估計該校七年級720名學生選“數學故事”的人數.
(2)學校將“數學故事”的學生分成人數相等的A,B,C三個班,小聰、小慧都選擇了“數學故事”.已知小聰不在A班,求他與小慧被分到同一個班的概率.(要求列表或畫樹狀圖)
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】把四張形狀大小完全相同的小長方形卡片(如圖①)不重疊的放在一個底面為長方形(長為m,寬為n)的盒子底部(如圖②),盒子底面未被卡片覆蓋的部分用陰影表示,則圖②中兩塊陰影部分的周長和是( )
A.B.C.D.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,平行四邊形ABCD中,點E是AD的中點,BE的延長線與CD的延長線交于點F.
(1)求證:△ABE≌△DFE;
(2)試連結BD,AF,判斷四邊形ABDF的形狀,并證明你的結論.
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