【題目】如圖,△ABC中,∠C=90°,AB=5cm,BC=3cm,若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C開(kāi)始,按C→A→B→C的路徑運(yùn)動(dòng),且速度為每秒1cm,設(shè)出發(fā)的時(shí)間為t秒.
(1)若點(diǎn)P恰好在∠BAC的角平分線上,求t的值;
(2)問(wèn)t為何值時(shí),△BCP為等腰三角形?
(3)另有一點(diǎn)Q,從點(diǎn)C開(kāi)始,按C→B→A→C的路徑運(yùn)動(dòng),且速度為每秒2cm,若P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),當(dāng)P、Q中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí),另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng).當(dāng)t為何值時(shí),直線PQ把△ABC的周長(zhǎng)分成相等的兩部分?
【答案】(1);(2)3s、5.4s、6s、6.5s;(3)2或6秒
【解析】試題分析:(1)過(guò)P作PE⊥AB,設(shè)CP=2t,根據(jù)角平分線的性質(zhì)和勾股定理進(jìn)行解答即可;
(2)分類討論:當(dāng)CP=CB時(shí),△BCP為等腰三角形,若點(diǎn)P在AC上得t=3(s),若點(diǎn)P在AB上,則t=5.4s;當(dāng)PC=PB時(shí),△BCP為等腰三角形,作PD⊥BC于D,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得BD=CD,則可判斷PD為△ABC的中位線,則AP=AB=,易得t=(s);當(dāng)BP=BC=3時(shí),△BCP為等腰三角形,則AP=AB-BP=2,易得t=6(s);
(3)分兩種情況討論:當(dāng)P點(diǎn)在AC上,Q在AB上,則PC=t,BQ=2t-3,t+2t-3+3=6;當(dāng)P點(diǎn)在AB上,Q在AC上,則AC=t-4,AQ=2t-8,t-4+2t-8=6,分別求得t的值即可.
試題解析:(1)如圖1,過(guò)P作PE⊥AB,
∵點(diǎn)P恰好在∠BAC的角平分線上,且∠C=90°,AB=5cm,BC=3cm,
∴CP=EP,
∴△ACP≌△AEP(HL),
∴AC=4cm=AE,BE=5-4=1,
設(shè)CP=x,則BP=3-x,PE=x,
∴Rt△BEP中,BE2+PE2=BP2,
即12+x2=(3-x)2
解得x=,
∴BP=3-=,
∴CA+AB+BP=4+5+=,
∴t=÷1=(s);
(2)如圖2,當(dāng)CP=CB時(shí),△BCP為等腰三角形,
若點(diǎn)P在CA上,則1t=3,
解得t=3(s);
如圖3,當(dāng)BP=BC=3時(shí),△BCP為等腰三角形,
∴AP=AB-BP=2,
∴t=(4+2)÷1=6(s);
如圖4,若點(diǎn)P在AB上,CP=CB=3,作CD⊥AB于D,則根據(jù)面積法求得CD=,
在Rt△BCD中,由勾股定理得,BD=,
∴PB=2BD=
∴CA+AP=4+5-=5.4,
此時(shí)t=5.4÷1=5.4(s);
如圖5,當(dāng)PC=PB時(shí),△BCP為等腰三角形,作PD⊥BC于D,則BD=CD,
∴PD為△ABC的中位線,
∴AP=BP=AB=,
∴t=(4+)÷1=(s);
綜上所述,t為3s或5.4s或6s或s時(shí),△BCP為等腰三角形;
(3)如圖6,當(dāng)P點(diǎn)在AC上,Q在AB上,則PC=t,BQ=2t-3,
∵直線PQ把△ABC的周長(zhǎng)分成相等的兩部分,
∴t+2t-3+3=6,
∴t=2(s);
如圖7,當(dāng)P點(diǎn)在AB上,Q在AC上,則AP=t-4,AQ=2t-8,
∵直線PQ把△ABC的周長(zhǎng)分成相等的兩部分,
∴t-4+2t-8=6,
∴t=6(s);
綜上所述,當(dāng)t=2或6秒時(shí),直線PQ把△ABC的周長(zhǎng)分成相等的兩部分.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ACB與△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90,點(diǎn)D為AB邊上的一點(diǎn),
(1)試說(shuō)明:∠EAC=∠B ;(2)若AD=10,BD=24,求DE的長(zhǎng).
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【題目】① 如圖,由小正方形組成的L形圖中,用三種方法分別在圖中添一個(gè)小正方形使圖形成為軸對(duì)稱圖形:
② 如圖,在正方形網(wǎng)格上的一個(gè)△ABC.
⑴ 作△ABC關(guān)于直線MN的對(duì)稱圖形(不寫作法);
⑵ 以P為一個(gè)頂點(diǎn)作與△ABC全等的三角形(規(guī)定點(diǎn)P與點(diǎn)B對(duì)應(yīng),另兩頂點(diǎn)都在圖中網(wǎng)格交點(diǎn)處),則可作出 個(gè)三角形與△ABC全等.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在一張長(zhǎng)為8cm,寬為6cm的矩形紙片上,現(xiàn)要剪下一個(gè)腰長(zhǎng)為5cm的等腰三角形(要求:等腰三角形的一個(gè)頂點(diǎn)與矩形的一個(gè)頂點(diǎn)重合,其余的兩個(gè)頂點(diǎn)在矩形的邊上).則剪下的等腰三角形的面積為______cm2.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】兩三角形的相似比為1∶4,它們的周長(zhǎng)之差為27 cm,則較小三角形的周長(zhǎng)為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊分別是15cm和25cm,它們的周長(zhǎng)相差40cm,則這兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)分別是( 。
A.75cm,115cmB.60cm,100cmC.85cm,125cmD.45cm,85cm
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】一元二次方程x2+mx+2m=0的兩個(gè)實(shí)根分別為x1,x2,若x1+x2=1,則x1x2=______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平行四邊形ABCD中,∠A:∠B:∠C=2:3:2,則∠D=( )
A.36°B.108°C.72°D.60°
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