Question

4．如圖，一次函數(shù)y=kx+3分別與x，y軸交于點N，M，與反比例函數(shù)y=$\frac{3}{x}$（x＞0）的圖象交于點A，若AM：MN=2：3，則k=$\frac{10}{3}$．

Answer 1

分析 過點A作AB⊥x軸于點B，通過AB∥MO找出△NMO∽△NAB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)找出$\frac{MO}{AB}=\frac{NO}{NB}=\frac{NM}{NA}$，再根據(jù)AM：MN=2：3以及OM=3可求出AB的長度，由此即可得出點A的坐標(biāo)，結(jié)合點A的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出k值．

解答 解：過點A作AB⊥x軸于點B，如圖所示．

∵AB⊥x軸，MO⊥x軸，
∴AB∥MO，
∴△NMO∽△NAB，
∴$\frac{MO}{AB}=\frac{NO}{NB}=\frac{NM}{NA}$．
∵AM：MN=2：3，
MN：AN=3：（2+3）=3：5．
令一次函數(shù)y=kx+3中x=0，則y=3，
∴MO=3．
∵$\frac{MO}{AB}=\frac{NM}{NA}$=$\frac{3}{5}$，
∴AB=5，
令反比例函數(shù)y=$\frac{3}{x}$中y=5，則5=$\frac{3}{x}$，
解得：x=$\frac{3}{5}$．
∴點A的坐標(biāo)為（$\frac{3}{5}$，5）．
將點A（$\frac{3}{5}$，5）代入一次函數(shù)y=kx+3中，
得：5=$\frac{3}{5}$k+3，解得：k=$\frac{10}{3}$．
故答案為：$\frac{10}{3}$．

點評 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題、相似三角形的判定及性質(zhì)以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是求出點A的坐標(biāo)．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時，求出點的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是關(guān)鍵．