Question

13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=a（x+1）²-3與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C（0，-$\frac{8}{3}$），頂點為D，對稱軸與x軸交于點H，過點H的直線l交拋物線于P，Q兩點，點Q在y軸的右側(cè)．
（1）求a的值及點A，B的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)直線l將四邊形ABCD分為面積比為3：7的兩部分時，求直線l的函數(shù)表達(dá)式；
（3）當(dāng)點P位于第二象限時，設(shè)PQ的中點為M，點N在拋物線上，則以DP為對角線的四邊形DMPN能否為菱形？若能，求出點N的坐標(biāo)；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）把點C代入拋物線解析式即可求出a，令y=0，列方程即可求出點A、B坐標(biāo)．
（2）先求出四邊形ABCD面積，分兩種情形：①當(dāng)直線l邊AD相交與點M₁時，根據(jù)S${\;}_{△AH{M}_{1}}$=$\frac{3}{10}$×10=3，求出點M₁坐標(biāo)即可解決問題．②當(dāng)直線l邊BC相交與點M₂時，同理可得點M₂坐標(biāo)．
（3）設(shè)P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）且過點H（-1，0）的直線PQ的解析式為y=kx+b，得到b=k，利用方程組求出點M坐標(biāo)，求出直線DN解析式，再利用方程組求出點N坐標(biāo)，列出方程求出k，即可解決問題．

解答 解：（1）∵拋物線與y軸交于點C（0，-$\frac{8}{3}$）．
∴a-3=-$\frac{8}{3}$，解得：a=$\frac{1}{3}$，
∴y=$\frac{1}{3}$（x+1）²-3
當(dāng)y=0時，有$\frac{1}{3}$（x+1）²-3=0，
∴x₁=2，x₂=-4，
∴A（-4，0），B（2，0）．
（2）∵A（-4，0），B（2，0），C（0，-$\frac{8}{3}$），D（-1，-3）
∴S_{四邊形ABCD}=S_△ADH+S_梯形OCDH+S_△BOC=$\frac{1}{2}$×3×3+$\frac{1}{2}$（$\frac{8}{3}$+3）×1+$\frac{1}{2}$×2×$\frac{8}{3}$=10．
從面積分析知，直線l只能與邊AD或BC相交，所以有兩種情況：
①當(dāng)直線l邊AD相交與點M₁時，則S${\;}_{△AH{M}_{1}}$=$\frac{3}{10}$×10=3，
∴$\frac{1}{2}$×3×（-y${\;}_{{M}_{1}}$）=3
∴y${\;}_{{M}_{1}}$=-2，點M₁（-2，-2），過點H（-1，0）和M₁（-2，-2）的直線l的解析式為y=2x+2．
②當(dāng)直線l邊BC相交與點M₂時，同理可得點M₂（$\frac{1}{2}$，-2），過點H（-1，0）和M₂（$\frac{1}{2}$，-2）的直線l的解析式為y=-$\frac{4}{3}$x-$\frac{4}{3}$．
綜上所述：直線l的函數(shù)表達(dá)式為y=2x+2或y=-$\frac{4}{3}$x-$\frac{4}{3}$．
（3）設(shè)P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）且過點H（-1，0）的直線PQ的解析式為y=kx+b，
∴-k+b=0，
∴b=k，
∴y=kx+k．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+k}\\{y=\frac{1}{3}{x}^{2}+\frac{2}{3}x-\frac{8}{3}}\end{array}\right.$，
∴$\frac{1}{3}{x}^{2}$+（$\frac{2}{3}$-k）x-$\frac{8}{3}$-k=0，
∴x₁+x₂=-2+3k，y₁+y₂=kx₁+k+kx₂+k=3k²，
∵點M是線段PQ的中點，∴由中點坐標(biāo)公式的點M（$\frac{3}{2}$k-1，$\frac{3}{2}$k²）．
假設(shè)存在這樣的N點如圖，直線DN∥PQ，設(shè)直線DN的解析式為y=kx+k-3
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+k-3}\\{y=\frac{1}{3}{x}^{2}+\frac{2}{3}x-\frac{8}{3}}\end{array}\right.$，解得：x₁=-1，x₂=3k-1，∴N（3k-1，3k²-3）
∵四邊形DMPN是菱形，
∴DN=DM，
∴（3k）²+（3k²）²=（$\frac{3k}{2}$）²+（$\frac{3}{2}{k}^{2}+3$）²，
 整理得：3k⁴-k²-4=0，
∵k²+1＞0，
∴3k²-4=0，
 解得k=±$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∵k＜0，
∴k=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴P（-3$\sqrt{3}$-1，6），M（-$\sqrt{3}$-1，2），N（-2$\sqrt{3}$-1，1）
∴PM=DN=2$\sqrt{7}$，
∵PM∥DN，
∴四邊形DMPN是平行四邊形，
∵DM=DN，
∴四邊形DMPN為菱形，
∴以DP為對角線的四邊形DMPN能成為菱形，此時點N的坐標(biāo)為（-2$\sqrt{3}$-1，1）．

點評 本題考查二次函數(shù)綜合題、待定系數(shù)法、一次函數(shù)、菱形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會分類討論，學(xué)會利用參數(shù)解決問題，用方程的思想思考問題，屬于中考壓軸題．