Question

【題目】如圖，已知中，AB=AC=10 cm，BC=8cm，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AC上，AE=6 cm，點(diǎn)P在BC上以1 cm/s速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在AC上由A點(diǎn)向E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).

（1）在運(yùn)動(dòng)過程中，若點(diǎn)Q速度為2 cm/s，則能否形成以為頂角的等腰三角形？若可以，請(qǐng)求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間t， 若不可以，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）當(dāng)點(diǎn)Q速度為多少時(shí)，能夠使 與全等？

Answer 1

【答案】（1）t=2s時(shí)，△QPC能形成以為頂角的等腰三角形；（2）當(dāng)點(diǎn)Q速度為cm/s時(shí)，能夠使ΔBPD與ΔQCP全等．

【解析】

（1）設(shè)ts時(shí)△QPC是以為頂角的等腰三角形，則可知PB=tcm，PC=（8-t）cm，CQ=（10-2t）cm，由PC =CQ即可解決問題；

（2）根據(jù)全等三角形應(yīng)滿足的條件探求邊之間的關(guān)系，再根據(jù)路程=速度×時(shí)間，先求得點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，再求得點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度．

解：（1）設(shè)ts時(shí)△QPC是以為頂角的等腰三角形，則PB=tcm，PC=（8-t）cm，CQ=（10-2t）cm，

∵△QPC是以為頂角的等腰三角形

∴PC=CQ，即8-t=10-2t，

解得：t=2s，

∵其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，8÷1=8s，6÷2=3s，

∴點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為3s，t=2s符合題意，

∴t=2s時(shí)，△QPC能形成以為頂角的等腰三角形；

（2）∵AB=AC，
∴∠B=∠C，

設(shè)點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則BP=t cm，PC=（8-t）cm，
∵AB=10cm，BC=8cm，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，
∴BD=×10=5cm，
①BD、PC是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，∵△BPD與△CQP全等，
∴BD=PC，BP=CQ，
∴5=8-t，
解得t=3，

∴BP=CQ =3cm，

∴AQ=10-3=7cm，

∵點(diǎn)Q在AC上由A點(diǎn)向E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，AE=6 cm，

∴AQ不可能等于7cm，即不存在BD、PC是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，△BPD與△CQP全等
②BD與CQ是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，∵△BPD與△CPQ全等，
∴BD=CQ=5cm，BP=PC，AQ=10-5=5cm，
∴t=8-t，
解得t=4，

∴點(diǎn)Q速度為5÷4=cm/s．

即當(dāng)點(diǎn)Q速度為cm/s時(shí)，能夠使ΔBPD與ΔQCP全等．