Question

【題目】探究并解決問(wèn)題：

探究

倍延三角形的一條中線，我們可以發(fā)現(xiàn)一些有用的結(jié)論.

已知，如圖①所示，AD為△ABC的中線，延長(zhǎng)AD到E,使AD=DE,連接BE、CE.

（1）求證：AB∥CE.

（2）請(qǐng)?jiān)賹?xiě)出兩條不同類(lèi)型的結(jié)論.

解決問(wèn)題

如圖所示②，分別以△ABC的邊AB和AC為邊，向三角形的外側(cè)作兩個(gè)等腰直角三角形，AB=AD,AC=AE,∠BAD = ∠CAE=90°，點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，連接DE,AM,試問(wèn)線段AM、DE之間存在什么關(guān)系？并說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】探究（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；解決問(wèn)題：ED=2AM，AM⊥ED；證明見(jiàn)解析.

【解析】

探究（1）先證明四邊形BEAC是平行四邊形，即可完成；（2）根據(jù)（1）所得的平行四邊形，寫(xiě)兩條性質(zhì)即可；解決問(wèn)題：ED=2AM，AM⊥ED.延長(zhǎng)AM到G，使MG=AM，連BG，則ABGC是平行四邊形，再結(jié)合已知條件可以證明△DAE≌△ABG，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可以得到DE=2AM，∠BAG=∠EDA，再延長(zhǎng)MG交DE于H，因?yàn)椤?/span>B4G+∠DAH=90°，所以∠HDA+∠DAH=90°這樣就證明了AMLED；

解：探究（1）∵AD為△ABC的中線，

∴BD=DC

又∵AD=DE

∴四邊形ABEC是平行四邊形

∴AB∥CE

（2）∵四邊形ABEC是平行四邊形

∴BE=AC,BE∥AC，∠BAC=∠BEC等寫(xiě)兩個(gè)即可.

解決問(wèn)題：

ED=2AM，AM⊥ED

證明：延長(zhǎng)AM到G，使MG=AM，連BG，則ABGC是平行四邊形，再延長(zhǎng)M4交DE于H.

∴AC=BG，∠ABG+∠BAC=180°

又∵∠DAE+∠BAC=180°，

∴∠ABG=∠DAE.

∴△DAE≌△ABG

∴DE=2AM，∠BAG=∠EDA.

延長(zhǎng)MA交DE于H，

∵∠BAG+∠DAH=90°，

∴∠HDA+∠DAH=90°.

AM⊥ED.