【題目】問(wèn)題背景
在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上,張老師要求同學(xué)們拿兩張大小不同的矩形紙片進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換探究活動(dòng).如圖 1,在矩形紙片ABCD 和矩形紙片EFGH中,AB=1,AD=2,且FE>AD,FG>AB,點(diǎn)E 是 AD 的中點(diǎn),矩形紙片 EFGH 以點(diǎn)E 為旋轉(zhuǎn)中心進(jìn)行逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生怎樣的數(shù)量關(guān)系,提出恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)問(wèn)題并加以解決.
解決問(wèn)題
下面是三個(gè)學(xué)習(xí)小組提出的數(shù)學(xué)問(wèn)題,請(qǐng)你解決這些問(wèn)題.
(1)“奮進(jìn)”小組提出的問(wèn)題是:如圖 1,當(dāng) EF 與 AB 相交于點(diǎn) M,EH 與 BC 相交于點(diǎn) N 時(shí),求證:EM=EN.
(2)“雄鷹”小組提出的問(wèn)題是:在(1)的條件下,當(dāng) AM=CN 時(shí),AM 與 BM 有怎樣的數(shù)量關(guān)系,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(3)“創(chuàng)新”小組提出的問(wèn)題是:若矩形 EFGH 繼續(xù)以點(diǎn) E 為旋轉(zhuǎn)中心進(jìn)行逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),當(dāng) 時(shí),請(qǐng)你在圖 2 中畫出旋轉(zhuǎn)后的示意圖,并求出此時(shí) EF 將邊 BC 分成的兩條線段的長(zhǎng)度.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)AM=BN;(3)EF 將邊 BC 分成的兩條線段的長(zhǎng)度為 .
【解析】試題分析:(1)過(guò)點(diǎn) E 作 ,垂足為點(diǎn)P,根據(jù)已知條件證出PE=AE,再證得∠PEN=∠AEM,進(jìn)而得到△PEN≌△AEM,即可證得結(jié)論;(2)易證PN=CN= PC,進(jìn)而求出PN=CN=,再判斷出AM=PN=,即可得出BM=,從而證得結(jié)論;(3)在Rt△PEM中,求出PM的長(zhǎng),再用線段的和差即可得出結(jié)論.
試題解析:
(1) 如圖1,過(guò)點(diǎn) E 作 ,垂足為點(diǎn) P,
則四邊形 ABPE 是矩形,∴PE=AB=1, ,
∵ 點(diǎn) E 是 AD 的中點(diǎn),∴ ,∴PE=AE,
∵ ,∴ ,
∵PE=AE, ,∴,∴EM=EN.
(2) 由(1)知, ,∴AM=PN,
∵AM=CN,∴PN=CN=PC,
∵ 四邊形 EPCD 是矩形,∴PC=DE=1,PN=CN=,
∴AM=PN=,BM=AB-AM=,∴AM=BN.
(3)如圖2,當(dāng)∠AEF=60°時(shí),
設(shè)EF與BC交于M,EH與CD交于N,過(guò)點(diǎn)E作EP⊥BC于P,連接EC,
由(1)知,CP=EP=1,AD∥BC,
∴∠EMP=∠AEF=60°,
在Rt△PEM中,PM=,
∴BM=BP﹣PM=1﹣,CM=PC+PM=1+,
∴EF將邊BC分成的兩條線段的長(zhǎng)度為1﹣,1+.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+2(a≠0)的圖象與x 軸交于A,B 兩點(diǎn),與y 軸交于點(diǎn)C,已知點(diǎn) A(-4,0),B(1,0).
(1)求拋物線的解析式;
(2)若點(diǎn) D(m,n) 是拋物線在第二象限的部分上的一動(dòng)點(diǎn),四邊形 的面積為 ,求 關(guān)于 m 的函數(shù)關(guān)系;
(3)若點(diǎn) E 為拋物線對(duì)稱軸上任意一點(diǎn),當(dāng)以 A,C,E 為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí),請(qǐng)求出滿足條件的所有點(diǎn) E 的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】徐州市總投資為443億元的軌道交通1、2、3號(hào)線同時(shí)共建中,建成后將有效緩解我市交通壓力、便利市民出行、提高城市整體實(shí)力,443億用科學(xué)記數(shù)法表示為( )
A.0.443×1010
B.4.43×109
C.443×108
D.4.43×1010
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(1)觀察如圖所示的長(zhǎng)方體后填空
用符號(hào)表示下列兩棱的位置關(guān)系:
A1B1____AB ,AA1____AB ,
A1D1____C1D1 , AD____BC;
(2)A1B1與BC所在的直線是兩條不相交的直線,他們_ ___平行線(填“是”或“不是”).由此可知,在__________,兩條不相交的直線才能叫平行線.
(3)在同一平面內(nèi),兩條不重合的直線位置關(guān)系只有_____種,即_____________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某商場(chǎng)一種商品的進(jìn)價(jià)為每件30元,售價(jià)為每件40元.每天可以銷售48件,為盡快減少庫(kù)存,商場(chǎng)決定降價(jià)促銷.
(1)若該商品連續(xù)兩次下調(diào)相同的百分率后售價(jià)降至每件32.4元,求兩次下降的百分率;
(2)經(jīng)調(diào)查,若每降價(jià)0.5元,每天可多銷售4件,那么每天要想獲得510元的利潤(rùn),每件應(yīng)降價(jià)多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列命題中,假命題是( )
A. 一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形
B. 三個(gè)角是直角的四邊形是矩形
C. 四邊相等的四邊形是菱形
D. 有一個(gè)角是直角的菱形是正方形
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