【題目】如圖,直線y=﹣2x+4與坐標軸分別交于C、B兩點,過點C作CD⊥x軸,點P是x軸下方直線CD上的一點,且△OCP與△OBC相似,求過點P的雙曲線解析式.

【答案】解:∵直線y=﹣2x+4與坐標軸分別交于C、B兩點,
∴令y=0,可得﹣2x+4=0,解得x=2,即C(2,0),OC=2,
令x=0,可得y=4,即B(0,4),OB=4,
①如圖1,當∠OBC=∠COP時,△OCP∽△BOC,

=,即=,解得CP=1,
∴P(2,﹣1),
設過點P的雙曲線解析式y(tǒng)=,把P點代入解得k=﹣2,
∴過點P的雙曲線解析式y(tǒng)=﹣,
②如圖2,當∠OBC=∠CPO時,△OCP∽△COB,

在△OCP和△COB中,

∴△OCP≌△COB(AAS)
∴CP=BO=4,
∴P(2,﹣4)
設過點P的雙曲線解析式y(tǒng)=,把P點代入得﹣4=,解得k=﹣8,
∴過點P的雙曲線解析式y(tǒng)=
綜上可得,過點P的雙曲線的解析式為y=﹣或y=
【解析】由直線y=﹣2x+4與坐標軸分別交于C、B兩點,易得OC=2,OB=4,再分兩種情況①當∠OBC=∠COP時,△OCP與△OBC相似,②當∠OBC=∠CPO時,△OCP與△OBC相似分別求出點的坐標,再求出過點P的雙曲線解析式.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解相似三角形的判定與性質(zhì)的相關知識,掌握相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等)的比等于相似比;相似三角形周長的比等于相似比;相似三角形面積的比等于相似比的平方.

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,即,

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