Question

6．如圖，已知?ABCD和?ABEF，連接AC、DF、CE、AE，AC與DF交于點G，若AC=DF=AE．
（1）求證：△AEC為等邊三角形；
（2）求∠AGF的度數(shù)；
（3）若點F、B、C在同一直線上，求證：四邊形ABEF為菱形．

Answer 1

分析 （1）直接利用平行四邊形的性質(zhì)和判定方法得出四邊形FDCE是平行四邊形，進而得出DF=EC，再利用已知求出答案；
（2）利用等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)得出答案；
（3）利用等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合平行四邊形的對角線互相平分，進而得出AE⊥BF，即可得出答案．

解答 （1）證明：∵在?ABCD和?ABEF中，
∴AB$\stackrel{∥}{=}$EF，AB$\stackrel{∥}{=}$DC，
∴EF$\stackrel{∥}{=}$DC，
∴四邊形FDCE是平行四邊形，
∴FD=EC，
∵AC=DF=AE，
∴AE=AC=EC，
∴△AEC為等邊三角形；

（2）解：∵△AEC為等邊三角形，
∴∠ECA=60°，
∵四邊形FDCE是平行四邊形，
∴DF∥EC，
∴∠FGA=∠ECA=60°；

（3）證明：如圖所示：連接FB，AE與BF相交于點O，
∵四邊形ABEF是平行四邊形，
∴AO=EO，
又∵△AEC為等邊三角形，點F、B、C在同一直線上，
∴CO⊥AE，
∴AE⊥BF，
∴平行四邊形ABEF是菱形．

點評 此題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)，正確應(yīng)用平行四邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．